Үздіксіз теңдеулер – сақталған шамалардың тасымалын сипаттайтын, физикалық құбылыстарды түсіндіретін маңызды теңдеулер. Энергия, масса, заряд сақталуын қарастырады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Қандай да бір шаманың тасымалын сипаттайтын теңдеу
Equation describing the transport of some quantity
Тұрақтылық теңдеуі немесе тасымалдау теңдеуі – белгілі бір шаманың тасымалын сипаттайтын теңдеу. Сақталған шамаға қолданғанда бұл теңдеу ерекше қарапайым және қуатты, бірақ оны кез келген кеңейтілген шамаға қолдану үшін жалпылауға болады. Масса, энергия, импульс, электр заряды және басқа да табиғи шамалар тиісті жағдайларда сақталғандықтан, түрлі физикалық құбылыстарды тұрақтылық теңдеулерін қолдану арқылы сипаттауға болады. Тұрақтылық теңдеулері – сақтау заңдарының күшті, жергілікті формасы. Мысалы, энергияны сақтау заңының әлсіз нұсқасында энергияны жасауға немесе жоюға болмайды, яғни ғаламдағы энергияның жалпы мөлшері өзгермейді. Бұл мәлімдеме энергияның бір нүктеден жоғалып, бірден басқа нүктеде пайда болу мүмкіндігін жоққа шығармайды. Күштірек мәлімдеме – энергия жергілікті түрде сақталады: энергияны жасауға немесе жоюға болмайды, сондай-ақ ол бір жерден екінші жерге «телепортталуы» мүмкін емес – ол тек үздіксіз ағын арқылы ғана қозғалуы мүмкін. Тұрақтылық теңдеуі – осы сияқты мәлімдемені математикалық тұрғыда білдірудің тәсілі. Мысалы, электр зарядының тұрақтылық теңдеуі кез келген кеңістіктегі электр зарядының мөлшері тек сол көлемге немесе оның шекаралары арқылы өтетін электр тогының мөлшеріне байланысты ғана өзгеруі мүмкін. Тұрақтылық теңдеулері жалпы алғанда «көз» және «тоған» мүшелерін қамти алады, бұл оларға көбінесе, бірақ әрқашан сақталмайтын шамаларды сипаттауға мүмкіндік береді, мысалы, химиялық реакциялар арқылы құрылуы немесе жойылуы мүмкін молекулалық түрлердің тығыздығы. Күнделікті мысал ретінде, тірі адамдардың саны үшін тұрақтылық теңдеуі бар; оның адамдардың дүниеге келуін есепке алу үшін «көз мүшесі», ал адамдардың қайтыс болуын есепке алу үшін «тоған мүшесі» бар. Кез келген тұрақтылық теңдеуін кез келген шекті аймаққа қолданылатын «интегралдық формада» (ағын интегралы арқылы) немесе нүктеде қолданылатын «дифференциалдық формада» (дивергенция операторы арқылы) көрсетуге болады. Тұрақтылық теңдеулері конвекция-диффузия теңдеуі, Болцманның тасымалдау теңдеуі және Навье-Сток теңдеулері сияқты нақты тасымалдау теңдеулерінің негізін құрайды. Тұрақтылық теңдеулерімен басқарылатын ағындарды Санки диаграммасы арқылы визуализациялауға болады.
A continuity equation or transport equation is an equation that describes the transport of some quantity. It is particularly simple and powerful when applied to a conserved quantity, but it can be generalized to apply to any extensive quantity. Since mass, energy, momentum, electric charge and other natural quantities are conserved under their respective appropriate conditions, a variety of physical phenomena may be described using continuity equations. Continuity equations are a stronger, local form of conservation laws. For example, a weak version of the law of conservation of energy states that energy can neither be created nor destroyed—i. e., the total amount of energy in the universe is fixed. This statement does not rule out the possibility that a quantity of energy could disappear from one point while simultaneously appearing at another point. A stronger statement is that energy is locally conserved: energy can neither be created nor destroyed, nor can it "teleport" from one place to another—it can only move by a continuous flow. A continuity equation is the mathematical way to express this kind of statement. For example, the continuity equation for electric charge states that the amount of electric charge in any volume of space can only change by the amount of electric current flowing into or out of that volume through its boundaries. Continuity equations more generally can include "source" and "sink" terms, which allow them to describe quantities that are often but not always conserved, such as the density of a molecular species which can be created or destroyed by chemical reactions. In an everyday example, there is a continuity equation for the number of people alive; it has a "source term" to account for people being born, and a "sink term" to account for people dying. Any continuity equation can be expressed in an "integral form" (in terms of a flux integral), which applies to any finite region, or in a "differential form" (in terms of the divergence operator) which applies at a point. Continuity equations underlie more specific transport equations such as the convection–diffusion equation, Boltzmann transport equation, and Navier–Stokes equations. Flows governed by continuity equations can be visualized using a Sankey diagram.
Электромагнетизм
Электромагниттік теорияда үздіксіздік теңдеуі – (жергілікті) зарядтың сақталуын көрсететін эмпирикалық заң. Математикалық тұрғыдан алғанда, бұл Максвелл теңдеулерінің автоматты салдары, бірақ зарядтың сақталуы Максвелл теңдеулерінен неғұрлым фундаменталды. Ол ток тығыздығының "J" (амперге шаршы метр) дивергенциясы заряд тығыздығының ρ (кулонға текше метр) өзгеру жылдамдығының теріс мәніне тең екенін білдіреді.
In electromagnetic theory, the continuity equation is an empirical law expressing (local) charge conservation. Mathematically it is an automatic consequence of Maxwell's equations, although charge conservation is more fundamental than Maxwell's equations. It states that the divergence of the current density 'J' (in amperes per square meter) is equal to the negative rate of change of the charge density ρ (in coulombs per cubic meter),
Ток – зарядтың қозғалысы. Үздіксіздік теңдеуі былай дейді: егер заряд дифференциалдық көлемнен шығып жатса (яғни ток тығыздығының дивергенциясы оң болса), онда сол көлемдегі заряд мөлшері кемиді, демек заряд тығыздығының өзгеру жылдамдығы теріс болады. Сондықтан үздіксіздік теңдеуі зарядтың сақталуын қамтамасыз етеді. Егер магниттік монопольдер болса, монополь тоқтары үшін де үздіксіздік теңдеуі болар еді. Қосымша ақпарат және электрлік және магниттік тоқтар арасындағы дуалдық туралы монополь туралы мақаланы қараңыз.
Current is the movement of charge. The continuity equation says that if charge is moving out of a differential volume (i. e., divergence of current density is positive) then the amount of charge within that volume is going to decrease, so the rate of change of charge density is negative. Therefore, the continuity equation amounts to a conservation of charge. If magnetic monopoles exist, there would be a continuity equation for monopole currents as well, see the monopole article for background and the duality between electric and magnetic currents.
Ықтималдық үлестірілімдері
Егер бір молекуланың Браун қозғалысы сияқты, стохастикалық (келтірістік) процеске сәйкес үздіксіз қозғалатын шама болса, онда оның ықтималдық таралымы үшін үздіксіздік теңдеуі болады. Бұл жағдайдағы ағын – бөлшектің бірлік уақытта бірлік аудан арқылы өту ықтималдығы. Үздіксіздік теңдеуіне сәйкес, осы ағынның теріс дивергенциясы ықтималдық тығыздығының өзгеру жылдамдығына тең. Үздіксіздік теңдеуі молекуланың әрқашан бір жерде болатынын көрсетеді – оның ықтималдық таралымының интегралы әрқашан 1-ге тең – және ол үздіксіз қозғалыспен қозғалады (телепорттау болмайды).
If there is a quantity that moves continuously according to a stochastic (random) process, like the location of a single dissolved molecule with Brownian motion, then there is a continuity equation for its probability distribution. The flux in this case is the probability per unit area per unit time that the particle passes through a surface. According to the continuity equation, the negative divergence of this flux equals the rate of change of the probability density. The continuity equation reflects the fact that the molecule is always somewhere—the integral of its probability distribution is always equal to 1—and that it moves by a continuous motion (no teleporting).
Шешім
Нақты құрылғыларда осы теңдеулерді шешудің кілті – мүмкін болған жағдайда, көптеген механизмдердің маңызды еместігіне қол жеткізетін аймақтарды таңдау, соның арқасында теңдеулер едәуір қарапайым түріне дейін тоғытылады.
The key to solving these equations in real devices is whenever possible to select regions in which most of the mechanisms are negligible so that the equations reduce to a much simpler form.
Бөлік физикасы
Кварктар мен глюондарда түстік заряд бар, ол электр заряды сияқты әрқашан сақталады, және мұндай түстік заряд токтері үшін сабақтастық теңдеуі бар (тоқтардың нақты өрнектері глюондық өріс күшінің тензорында келтірілген). Бөлшек физикасында жиі немесе әрқашан сақталатын көптеген басқа да шамалар бар: бариондық сан (кварктар саны мен антикварктар санының айырмасына пропорционал), электрондық сан, мюондық сан, тау-лептондық сан, изоспин және тағы да басқалары. Олардың әрқайсысының сәйкес сабақтастық теңдеуі бар, сондай-ақ бастау / сіңіру мүшелері де болуы мүмкін.
Quarks and gluons have color charge, which is always conserved like electric charge, and there is a continuity equation for such color charge currents (explicit expressions for currents are given at gluon field strength tensor). There are many other quantities in particle physics which are often or always conserved: baryon number (proportional to the number of quarks minus the number of antiquarks), electron number, mu number, tau number, isospin, and others. Each of these has a corresponding continuity equation, possibly including source / sink terms.