Уравнение непрерывности: описание переноса величин
Continuity equation
Уравнение неразрывности: описание переноса величин в физике. Применение к сохраняющимся величинам (масса, энергия, заряд). Локальная форма законов сохранения.
Equation describing the transport of some quantity
Уравнение непрерывности или уравнение переноса — это уравнение, описывающее перенос некоторого количества. Оно особенно просто и эффективно применительно к сохраняющейся величине, но может быть обобщено для любой обширной величины. Поскольку масса, энергия, импульс, электрический заряд и другие естественные величины сохраняются при соответствующих условиях, различные физические явления могут быть описаны с помощью уравнений непрерывности. Уравнения непрерывности представляют собой более строгую, локальную форму законов сохранения. Например, слабая формулировка закона сохранения энергии утверждает, что энергия не может быть создана или уничтожена, то есть общее количество энергии во Вселенной постоянно. Это утверждение не исключает возможности исчезновения определенного количества энергии в одной точке и одновременного появления в другой. Более сильное утверждение заключается в том, что энергия сохраняется локально: энергия не может быть создана или уничтожена, и она не может "телепортироваться" из одного места в другое — она может перемещаться только непрерывным потоком. Уравнение непрерывности — это математический способ выразить подобное утверждение. Например, уравнение непрерывности для электрического заряда гласит, что количество электрического заряда в любом объеме пространства может изменяться только на величину электрического тока, входящего в этот объем или выходящего из него через его границы. Уравнения непрерывности в более общем смысле могут включать члены "источник" и "сток", которые позволяют им описывать величины, которые часто, но не всегда сохраняются, такие как плотность молекулярного вида, который может создаваться или уничтожаться химическими реакциями. В качестве повседневного примера можно привести уравнение непрерывности для числа живых людей, которое имеет член "источник", учитывающий рождаемость, и член "сток", учитывающий смертность. Любое уравнение непрерывности может быть выражено в "интегральной форме" (в терминах интеграла потока), применимой к любой конечной области, или в "дифференциальной форме" (в терминах оператора дивергенции), применимой в точке. Уравнения непрерывности лежат в основе более специфических уравнений переноса, таких как уравнение конвекции-диффузии, уравнение переноса Больцмана и уравнения Навье-Стокса. Потоки, описываемые уравнениями непрерывности, можно визуализировать с помощью диаграммы Санки.
A continuity equation or transport equation is an equation that describes the transport of some quantity. It is particularly simple and powerful when applied to a conserved quantity, but it can be generalized to apply to any extensive quantity. Since mass, energy, momentum, electric charge and other natural quantities are conserved under their respective appropriate conditions, a variety of physical phenomena may be described using continuity equations. Continuity equations are a stronger, local form of conservation laws. For example, a weak version of the law of conservation of energy states that energy can neither be created nor destroyed—i. e., the total amount of energy in the universe is fixed. This statement does not rule out the possibility that a quantity of energy could disappear from one point while simultaneously appearing at another point. A stronger statement is that energy is locally conserved: energy can neither be created nor destroyed, nor can it "teleport" from one place to another—it can only move by a continuous flow. A continuity equation is the mathematical way to express this kind of statement. For example, the continuity equation for electric charge states that the amount of electric charge in any volume of space can only change by the amount of electric current flowing into or out of that volume through its boundaries. Continuity equations more generally can include "source" and "sink" terms, which allow them to describe quantities that are often but not always conserved, such as the density of a molecular species which can be created or destroyed by chemical reactions. In an everyday example, there is a continuity equation for the number of people alive; it has a "source term" to account for people being born, and a "sink term" to account for people dying. Any continuity equation can be expressed in an "integral form" (in terms of a flux integral), which applies to any finite region, or in a "differential form" (in terms of the divergence operator) which applies at a point. Continuity equations underlie more specific transport equations such as the convection–diffusion equation, Boltzmann transport equation, and Navier–Stokes equations. Flows governed by continuity equations can be visualized using a Sankey diagram.
Электромагнетизм
В электромагнитной теории уравнение непрерывности — это эмпирический закон, выражающий (локальное) сохранение заряда. Математически оно является автоматическим следствием уравнений Максвелла, хотя сохранение заряда более фундаментально, чем сами уравнения Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока 'J' (в амперах на квадратный метр) равна отрицательной скорости изменения плотности заряда ρ (в кулонах на кубический метр).
In electromagnetic theory, the continuity equation is an empirical law expressing (local) charge conservation. Mathematically it is an automatic consequence of Maxwell's equations, although charge conservation is more fundamental than Maxwell's equations. It states that the divergence of the current density 'J' (in amperes per square meter) is equal to the negative rate of change of the charge density ρ (in coulombs per cubic meter),
Ток — это движение заряда. Уравнение непрерывности говорит о том, что если заряд покидает дифференциальный объем (то есть дивергенция плотности тока положительна), то количество заряда внутри этого объема уменьшается, а значит, скорость изменения плотности заряда отрицательна. Таким образом, уравнение непрерывности эквивалентно закону сохранения заряда. Если бы существовали магнитные монополи, то существовало бы также уравнение непрерывности для монопольных токов; подробности и связь между электрическими и магнитными токами можно найти в статье о монополях.
Current is the movement of charge. The continuity equation says that if charge is moving out of a differential volume (i. e., divergence of current density is positive) then the amount of charge within that volume is going to decrease, so the rate of change of charge density is negative. Therefore, the continuity equation amounts to a conservation of charge. If magnetic monopoles exist, there would be a continuity equation for monopole currents as well, see the monopole article for background and the duality between electric and magnetic currents.
Распределения вероятности
Если существует величина, которая непрерывно изменяется в соответствии со стохастическим (случайным) процессом, например, положение одной растворенной молекулы, подверженной броуновскому движению, то существует уравнение непрерывности для ее распределения вероятностей. В этом случае поток представляет собой вероятность в единицу времени, с которой частица пересекает единичную площадь поверхности. Согласно уравнению непрерывности, отрицательная дивергенция этого потока равна скорости изменения плотности вероятности. Уравнение непрерывности отражает тот факт, что молекула всегда находится в каком-то месте – интеграл ее функции распределения вероятностей всегда равен 1 – и что она движется непрерывным образом (без мгновенного перемещения).
If there is a quantity that moves continuously according to a stochastic (random) process, like the location of a single dissolved molecule with Brownian motion, then there is a continuity equation for its probability distribution. The flux in this case is the probability per unit area per unit time that the particle passes through a surface. According to the continuity equation, the negative divergence of this flux equals the rate of change of the probability density. The continuity equation reflects the fact that the molecule is always somewhere—the integral of its probability distribution is always equal to 1—and that it moves by a continuous motion (no teleporting).
Решение
Ключ к решению этих уравнений в реальных устройствах – по возможности выбирать области, в которых большинство механизмов можно пренебречь, чтобы уравнения упростились до гораздо более простой формы.
The key to solving these equations in real devices is whenever possible to select regions in which most of the mechanisms are negligible so that the equations reduce to a much simpler form.
Физика частиц
Кварки и глюоны обладают цветовым зарядом, который всегда сохраняется, подобно электрическому заряду, и для токов этого цветового заряда существует уравнение непрерывности (явные выражения для токов приведены при описании тензора напряжённости поля глюонов). В физике частиц существует множество других величин, которые часто или всегда сохраняются: барионное число (пропорционально числу кварков минус числу антикварков), лептонное число электронов, лептонное число мюонов, лептонное число тау, изоспин и другие. Для каждой из этих величин существует соответствующее уравнение непрерывности, которое может включать члены, описывающие источники и стоки.
Quarks and gluons have color charge, which is always conserved like electric charge, and there is a continuity equation for such color charge currents (explicit expressions for currents are given at gluon field strength tensor). There are many other quantities in particle physics which are often or always conserved: baryon number (proportional to the number of quarks minus the number of antiquarks), electron number, mu number, tau number, isospin, and others. Each of these has a corresponding continuity equation, possibly including source / sink terms.