Кіріспе
Монохромды жарық сәулесі, амплитудалық ортасы Гаусс функциясымен сипатталады. Оптикада Гаусс сәулесі – электромагниттік сәулеленудің идеалданған түрі, оның көлденең жазықтықтағы амплитудалық ортасы Гаусс функциясымен беріледі; бұл сонымен қатар Гаусс интенсивтілігі (сәулеленуі) профилін білдіреді. Бұл негізгі (немесе TEM00) көлденең Гаусс режимі көптеген лазерлердің күтілетін шығысын сипаттайды, себебі мұндай сәуле аз шашырайды және басқаларына қарағанда жақсырақ шоғырланады. Егер Гаусс сәулесі идеалды линза арқылы қайта шоғырланса, жаңа Гаусс сәулесі пайда болады. Белгілі бір толқын ұзындығы және поляризациясы бар дөңгелек Гаусс сәулесінің бойымен электр және магнит өрісінің амплитудалық профильдері екі параметрмен анықталады: белдік w0, бұл сәуленің ең тар нүктесіндегі енінің өлшемі, және белдікке қатысты z орны. Гаусс функциясы шексіз болғандықтан, табиғатта идеалды Гаусс сәулелері жоқ, және кез келген мұндай сәуленің жиектері кез келген шекті линза немесе айнамен кесіледі. Дегенмен, Гаусс сәулесіндегі линзалар немесе айналар сәуленің w(z) нүктелік өлшемінен әлдеқайда үлкен болған жағдайларда нақты сәуленің тиімді жуықтауы болып табылады. Негізінен, Гаусс – осьтік Гельмгольц теңдеуінің шешімі, электромагниттік өріс үшін толқын теңдеуі. Басқа да шешімдер болғанымен, Гаусс шешімдерінің отбасылары шоғырланған сәулелерді қамтитын мәселелер үшін пайдалы.
In optics, a Gaussian beam is an idealized beam of electromagnetic radiation whose amplitude envelope in the transverse plane is given by a Gaussian function; this also implies a Gaussian intensity (irradiance) profile. This fundamental (or TEM00) transverse Gaussian mode describes the intended output of many lasers, as such a beam diverges less and can be focused better than any other. When a Gaussian beam is refocused by an ideal lens, a new Gaussian beam is produced. The electric and magnetic field amplitude profiles along a circular Gaussian beam of a given wavelength and polarization are determined by two parameters: the waist w0, which is a measure of the width of the beam at its narrowest point, and the position z relative to the waist. Since the Gaussian function is infinite in extent, perfect Gaussian beams do not exist in nature, and the edges of any such beam would be cut off by any finite lens or mirror. However, the Gaussian is a useful approximation to a real world beam for cases where lenses or mirrors in the beam are significantly larger than the spot size w(z) of the beam
Fundamentally, the Gaussian is a solution of the axial Helmholtz equation, the wave equation for an electromagnetic field. Although there exist other solutions, the Gaussian families of solutions are useful for problems involving compact beams.
Толқын маңдайының қисығы
Толқын фронттарының қисықтығы белдің екі жағындағы Релей қашықтығында, 1=z = ±zR, ең жоғары шамаға жетеді, ал белдің өзінде нөлге тең болады. Релей қашықтығынан асып кеткенде, , қисықтық қайтадан азаяды және z → ±∞ болғанда нөлге жақындайды. Қисықтық көбінесе оның кері шамасы, R – қисықтық радиусы арқылы өрнектеледі; негізгі Гаусс сәулесі үшін z позициясындағы қисықтық радиусы былай беріледі: сондықтан қисықтық радиусы R(z) сәуленің бойындағы кез келген нүктеде бұл режимдер негізгі Гаусс режимімен бірдей Гаусс коэффициентін және берілген режимге сәйкес қосымша геометриялық факторларды көбейтеді. Әртүрлі режимдер әртүрлі Гоуй фазасымен таралады, сондықтан режимдердің суперпозициясы нәтижесінде пайда болатын жалпы көлденең профиль z-ге байланысты өзгереді, ал жеке Hermite-Гаусс (немесе Laguerre-Гаусс) режимінің таралуы сәуле бойымен өз түрін сақтайды. Басқа модальдық жіктемелер де бар болғанымен, Гауссиандар компактты сәулелерді қамтитын мәселелер үшін пайдалы, яғни оптикалық қуат бір ось бойымен тығыз шектелген жағдайларда. Лазер негізгі Гаусс режимінде жұмыс істемесе де, оның қуаты көбінесе осы жіктемелерді пайдалана отырып, төменгі ретті режимдердің арасында табылады, өйткені жоғары ретті режимдердің кеңістіктік өлшемдері лазердің резонаторының (қуыстығының) шектерінен асып түсуі мүмкін. "Гаусс сәулесі" термині әдетте негізгі (TEM00) Гаусс режимімен шектелген сәулеленуді білдіреді.
so the radius of curvature R(z) is At any point along the beam z these modes include the same Gaussian factor as the fundamental Gaussian mode multiplying the additional geometrical factors for the specified mode. However different modes propagate with a different Gouy phase which is why the net transverse profile due to a superposition of modes evolves in z, whereas the propagation of any single Hermite–Gaussian (or Laguerre–Gaussian) mode retains the same form along a beam. Although there are other modal decompositions, Gaussians are useful for problems involving compact beams, that is, where the optical power is rather closely confined along an axis. Even when a laser is not operating in the fundamental Gaussian mode, its power will generally be found among the lowest order modes using these decompositions, as the spatial extent of higher order modes will tend to exceed the bounds of a laser's resonator (cavity). "Gaussian beam" normally implies radiation confined to the fundamental (TEM00) Gaussian mode.
Жарық параметрлері
Гаусс сәулесінің өрістерінің геометриялық тәуелділігі жарықтың λ толқын ұзындығымен (егер бос кеңістік болмаса, диэлектрлік ортада) және төменде сипатталатын сәуле параметрлерімен анықталады, олардың өзара байланысы келесі бөлімдерде толыққанды қарастырылады.
Қалқа белдеуі
Берілген λ толқын ұзындығы бар Гаусс сәулесінің пішіні тек бір параметрмен – сәуле белдеуі w0 арқылы анықталады. Бұл параметр сәуленің фокусының нүктесіндегі (жоғарыдағы теңдеулерде 1=z=0) сәуле енінің w(z) (жоғарыда анықталғандай) ең кішкентай болатын өлшемі (сондай-ақ, ось бойындағы интенсивтілік 1=r=0 ең жоғары болатын нүкте) болып табылады. Осы параметрден сәуленің геометриясын сипаттайтын басқа параметрлер есептеледі. Оларға Rayleigh қашықтығы zR және асимптотикалық сәуле таралу бұрышы θ жатады, олар төменде егжей-тегжейлі сипатталған.
Жарық дивергенциясы
Гаусс функциясының құйрықтары шын мәнінде ешқашан нөлге жете қоймаса да, келесі талқылау мақсатында сәуленің "шеті" 1/r = w(z) радиусы деп есептеледі. Яғни, осы жерде интенсивтілік ось бойындағы мәнінің 1/e²-ге дейін төмендейді. Егер z ≫ zR болса, w(z) параметрі z-бен сызықтық түрде өседі. Бұл белден алыс жатқанда, сәуленің "шеті" (жоғарыда аталған мағынада) конус тәрізді болады. Осы конустың (оның 1/r = w(z)) және сәуле осі арасындағы бұрыш сәуленің дивергенциясын анықтайды:
Параксиалдық жағдайда, біз қарастырғандай, θ (радианда) шамамен келесідей болады. Дивергенцияның жоғарыдағы өрнегінен, Гаусс сәулесінің моделі тек 2λ/π-ден үлкен белдікке ие сәулелер үшін ғана дұрыс екені көрінеді. Лазерлік сәуленің сапасы сәуле параметрінің көбейтіндісі (BPP) арқылы өлшенеді. Гаусс сәулесі үшін BPP – сәуленің дивергенциясы мен белдіктің w0 өлшемінің көбейтіндісі. Нақты сәуленің BPP-сы оның ең кішкентай диаметрін және алыс өрістегі дивергенциясын өлшеу арқылы, сосын олардың көбейтіндісін есептеу арқылы анықталады. Нақты сәуленің BPP-сы мен бірдей толқын ұзындығындағы идеалды Гаусс сәулесінің BPP-сы арасындағы қатынас M² ("M шаршы") деп аталады. Гаусс сәулесі үшін M² тең бірге. Барлық нақты лазерлік сәулелердің M² мәндері бірден жоғары, бірақ өте жоғары сапалы сәулелердің мәндері бірге жақын болуы мүмкін. Гаусс сәулесінің сандық апертурасы 1/NA = n sin θ деп анықталады, мұнда n – сәуле таралатын ортаның сындыру көрсеткіші. Бұл Рейли диапазоны сандық апертурамен байланысты екенін білдіреді.
Жарық оптикасы
Гаусс сәулесі жұқа линза арқылы таралғанда, шығатын сәуле де (әртүрлі) Гаусс сәулесі болады, егер сәуле линзаның цилиндрлік симметрия осі бойымен жүрсе және линза сәуленің енінен үлкен болса. Линзаның фокустық қашықтығы, кіретін сәуленің белдеу радиусы және орналасуы шығатын сәуленің белдеу радиусын және орналасуын анықтауға қолданылуы мүмкін.
Лагер-Гаусс режімдері
Дөңгелек симметриялы сәуле профильдері (немесе цилиндрлік симметриялы резонаторлары бар лазерлер) көбінесе Лагер-Гаусс модалық жіктеуін қолдану арқылы шешіледі. Мұндағы Lp^(l) – жалпыланған Лагер полиномдары. Қажетті нормалау тұрақтысы: w(z) және R(z) жоғарыда көрсетілгендей бірдей анықтамаларға ие. Жоғары реттік Гермит-Гаусс модалары сияқты, Лагер-Гаусс модаларының Гоуи фазалық ығысының шамасы N + 1 есе артық болады:
w(z) and R(z) have the same definitions as above. As with the higher order Hermite Gaussian modes the magnitude of the Laguerre Gaussian modes' Gouy phase shift is exaggerated by the factor N + 1:
Бұл жағдайда біріктірілген мода саны. Бұрынғыдай, көлденең амплитудалық өзгерістер теңдеудің жоғарғы қатарындағы соңғы екі факторда қамтылған, ол тағы да r-дегі негізгі Гаусс төмендеуін қамтиды, бірақ енді Лагер полиномымен көбейтіледі. Айналу модасының саны l, Лагер полиномына әсер етуден басқа, негізінен фазалық факторда қамтылған exp(−ilφ), онда сәуле профилі l толық 2π фазаға сәуле айналымында (φ) алға жылжытылады (немесе кешіктіріледі). Бұл l топологиялық заряды бар оптикалық вортекске мысал, және оны осы модадағы жарықтың орбиталық бұрыштық импульсімен байланыстыруға болады.
Инце-Гаустың режімдері
Эллипстік координаттарда жоғары реттік режимдерді Инсе полиномдары арқылы жазуға болады. Инсе Гаусс режимінің жұп және тақ түрлері келесідей беріледі, мұнда айналу индексі m – бүтін сан, ал нақты мәнді, Γ(x) – гамма функциясы және 1F1(a, b; x) – конfluent гипергеометриялық функция. Гипергеометриялық Гаусс (HyGG) режимдерінің кейбір кіші топтарына модификацияланған Бессель Гаусс режимдері, модификацияланған экспоненциалдық Гаусс режимдері және модификацияланған Лагерр-Гаусс режимдері жатады. Гипергеометриялық Гаусс режимдері жиынтығы толық және режимдердің ортогональды жиынтығы емес. Күрделі өріс профиліне қарамастан, HyGG режимдері сәуле белдеуінде (1=z = 0) өте қарапайым профильге ие:
where the rotational index m is an integer, and is real valued, Γ(x) is the gamma function and 1F1(a, b; x) is a confluent hypergeometric function. Some subfamilies of hypergeometric Gaussian (HyGG) modes can be listed as the modified Bessel Gaussian modes, the modified exponential Gaussian modes, and the modified Laguerre–Gaussian modes. The set of hypergeometric Gaussian modes is overcomplete and is not an orthogonal set of modes. In spite of its complicated field profile, HyGG modes have a very simple profile at the beam waist (1=z = 0):