Введение
Монохромный световой луч, амплитудная огибающая которого описывается гауссовой функцией.
В оптике гауссов луч – это идеализированный пучок электромагнитного излучения, амплитудная огибающая которого в поперечной плоскости задается гауссовой функцией; это также подразумевает гауссово распределение интенсивности (освещенности). Этот фундаментальный (или TEM00) поперечный гауссов режим описывает желаемый выход многих лазеров, поскольку такой луч имеет меньшую расходимость и может быть лучше сфокусирован, чем любой другой. При перефокусировке гауссова луча идеальной линзой формируется новый гауссов луч. Профили амплитуд электрического и магнитного полей вдоль кругового гауссова луча заданной длины волны и поляризации определяются двумя параметрами: размером талии w0, который характеризует ширину луча в самой узкой точке, и положением z относительно талии. Поскольку гауссова функция простирается на бесконечность, идеально гауссовы лучи в природе не существуют, и края любого такого луча будут обрезаны любой конечной линзой или зеркалом. Однако гауссова функция является полезным приближением для реальных лучей в тех случаях, когда линзы или зеркала в пути луча значительно больше размера пятна w(z) луча.
В основе своей гауссова функция является решением осевого уравнения Гельмгольца, волнового уравнения для электромагнитного поля. Хотя существуют и другие решения, семейства гауссовых решений полезны для задач, связанных с компактными пучками.
Кривота фронта волны
Кривизна фронтов волн максимальна на расстоянии Рэлея, 1=z = ±zR, по обе стороны от талии, пересекая ноль в самой талии. За пределами расстояния Рэлея она снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при z → ±∞. Кривизна часто выражается через свою обратную величину, R – радиус кривизны; для фундаментального гауссова луча кривизна в точке z задается следующим образом:
следовательно, радиус кривизны R(z) равен. В любой точке вдоль луча z эти моды включают тот же гауссов фактор, что и фундаментальная гауссова мода, умноженный на дополнительные геометрические факторы для данной моды. Однако различные моды распространяются с разной фазой Гоуи, поэтому результирующий поперечный профиль, образованный суперпозицией мод, изменяется с z, в то время как распространение любой отдельной моды Эрмита-Гаусса (или Лагерра-Гаусса) сохраняет свою форму вдоль луча. Хотя существуют и другие модальные разложения, гауссианы полезны для задач, связанных с компактными лучами, то есть там, где оптическая мощность достаточно сильно ограничена вдоль оси. Даже если лазер не работает в фундаментальной гауссовой моде, его мощность обычно обнаруживается среди мод низшего порядка при использовании этих разложений, поскольку пространственное распространение мод более высокого порядка, как правило, превышает границы резонатора лазера (полости). Под термином "гауссов луч" обычно подразумевается излучение, ограниченное фундаментальной (TEM00) гауссовой модой.
Параметры луча
Геометрическая зависимость полей гауссова пучка определяется длиной волны света λ (в диэлектрической среде, если это не свободное пространство) и следующими параметрами пучка, которые все взаимосвязаны, как будет подробно описано в следующих разделах.
Поясная часть
Форма гауссова пучка заданной длины волны λ определяется исключительно одним параметром – талией пучка w0. Это мера размера пучка в точке его фокусировки (z = 0 в вышеприведенных уравнениях), где ширина пучка w(z) (как определено выше) минимальна (и, аналогично, где интенсивность на оси (r = 0) максимальна). На основе этого параметра определяются остальные параметры, описывающие геометрию пучка, включая дальность Рэлея zR и асимптотическую расходимость пучка θ, как описано ниже.
Расхождение луча
Хотя хвосты гауссовской функции никогда не достигают нуля, для целей дальнейшего обсуждения "краем" луча считается радиус, при котором 1/r = w(z). То есть, это точка, где интенсивность падает до 1/e² от значения на оси. Теперь, при z ≫ zR параметр w(z) увеличивается линейно с z. Это означает, что вдали от талии "край" луча (в вышеуказанном смысле) имеет коническую форму. Угол между этим конусом (при котором 1/r = w(z)) и осью луча определяет расходимость луча: в параксиальном приближении, как мы и рассматривали, θ (в радианах) приблизительно равен… Из вышеприведенного выражения для расходимости следует, что модель гауссова луча точна только для лучей с талией больше примерно 2λ/π. Качество лазерного луча количественно оценивается произведением параметров луча (BPP). Для гауссова луча BPP является произведением расходимости луча и размера талии w0. BPP реального луча определяется путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне, а затем вычисления их произведения. Отношение BPP реального луча к BPP идеального гауссова луча на той же длине волны известно как M² ("M в квадрате"). M² для гауссова луча равно 1. Все реальные лазерные лучи имеют значения M² больше единицы, хотя очень высококачественные лучи могут иметь значения, близкие к единице. Численная апертура гауссова луча определяется как 1/NA = n sin θ, где n – показатель преломления среды, через которую распространяется луч. Это означает, что дальность Рэлея связана с числовой апертурой соотношением…
In the paraxial case, as we have been considering, θ (in radians) is then approximately From the above expression for divergence, this means the Gaussian beam model is only accurate for beams with waists larger than about 2λ/π. Laser beam quality is quantified by the beam parameter product (BPP). For a Gaussian beam, the BPP is the product of the beam's divergence and waist size w0. The BPP of a real beam is obtained by measuring the beam's minimum diameter and far field divergence, and taking their product. The ratio of the BPP of the real beam to that of an ideal Gaussian beam at the same wavelength is known as M^(2) ("M squared"). The M^(2) for a Gaussian beam is one. All real laser beams have M^(2) values greater than one, although very high quality beams can have values very close to one. The numerical aperture of a Gaussian beam is defined to be 1=NA = n sin θ, where n is the index of refraction of the medium through which the beam propagates. This means that the Rayleigh range is related to the numerical aperture by
Лучевая оптика
Когда гауссов пучок распространяется через тонкую линзу, исходящий пучок также является (иным) гауссовым пучком, при условии, что пучок распространяется вдоль оси цилиндрической симметрии линзы и что размер линзы превышает ширину пучка. Фокусное расстояние линзы, радиус волнового фронта пучка и положение волнового фронта пучка входящего пучка могут быть использованы для определения радиуса волнового фронта пучка и положения волнового фронта исходящего пучка.
Лагуер-Гауссианские режимы
Профили пучков, которые обладают круговой симметрией (или лазеры с резонаторами, имеющими цилиндрическую симметрию), часто наиболее эффективно анализировать с помощью разложения по модам Лагер-Гаусса, где Lp^(l) – обобщенные полиномы Лагера. является необходимой константой нормировки: w(z) и R(z) имеют те же определения, что и выше. Подобно гауссовым модам более высокого порядка, величина фазового сдвига Гауя для мод Лагер-Гаусса увеличена в N + 1 раз: где в данном случае N – суммарное число мод. Как и прежде, поперечные изменения амплитуды заключены в последних двух множителях в верхней строке уравнения, которые снова включают в себя основное гауссово затухание по r, но теперь умноженное на полином Лагера. Влияние азимутального числа моды l, помимо воздействия на полином Лагера, в основном проявляется в фазовом множителе exp(−ilφ), который сдвигает фазу профиля пучка на l полных фаз в 2π при одном обороте вокруг пучка (в φ). Это пример оптического вихря с топологическим зарядом l, который может быть связан с орбитальным угловым моментом света в данной моде.
w(z) and R(z) have the same definitions as above. As with the higher order Hermite Gaussian modes the magnitude of the Laguerre Gaussian modes' Gouy phase shift is exaggerated by the factor N + 1:
where in this case the combined mode number As before, the transverse amplitude variations are contained in the last two factors on the upper line of the equation, which again includes the basic Gaussian drop off in r but now multiplied by a Laguerre polynomial. The effect of the rotational mode number l, in addition to affecting the Laguerre polynomial, is mainly contained in the phase factor exp(−ilφ), in which the beam profile is advanced (or retarded) by l complete 2π phases in one rotation around the beam (in φ). This is an example of an optical vortex of topological charge l, and can be associated with the orbital angular momentum of light in that mode.
Инце-Гаусовские режимы
В эллиптических координатах моды высшего порядка можно представить с использованием полиномов Инсе. Четные и нечетные гауссовы моды Инсе задаются выражением
где индекс вращения m – целое число, а – действительное число, Γ(x) – гамма-функция, а 1F1(a, b; x) – вырожденная гипергеометрическая функция. Некоторые подсемейства гипергеометрических гауссовых (HyGG) мод включают модифицированные гауссовы моды Бесселя, модифицированные экспоненциальные гауссовы моды и модифицированные лагерровские гауссовы моды. Набор гипергеометрических гауссовых мод является избыточным и не образует ортогональный набор мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль в точке талии луча (z = 0):