Физикалық теориялардың эквиваленттігі: T-дуализм – бұл кванттық және жол теорияларындағы кеңістік-уақыттың геометриялық симметриясы. Негізгі түсініктер мен қолданылуы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екі физикалық теорияның теңдестігі
Equivalence of two physical theories
Теориялық физикада, T-дуалдық (мақсат кеңістігі дуалдығының қысқартылған атауы) – екі физикалық теорияның теңдестігі болып табылады, олар кванттық өріс теориялары немесе жіп теориялары болуы мүмкін. Бұл қатынастың ең қарапайым мысалында, теориялардың бірі белгілі радиусы бар шеңбер пішіндес кеңістікте таралатын жіптерді сипаттайды, ал екінші теория – радиусы пропорционалды шеңбер пішіндес кеңістікте таралатын жіптерді сипаттайды. T-дуалдық идеясын алғаш рет Бала Сатияпалан 1987 жылы жарияланбаған мақаласында атап өткен. Екі T-дуалдық теориясы эквивалентті, яғни бір сипаттамадағы барлық байқалатын шамалар екінші сипаттамадағы шамалармен сәйкес келеді. Мысалы, бір сипаттамадағы импульс дискретті мәндерді қабылдайды және екінші сипаттамадағы шеңберді айналдыратын жіптің санына тең болады. T-дуалдығының идеясын күрделі теорияларға, соның ішінде супержіп теорияларына дейін кеңейтуге болады. Бұл дуалдықтардың болуы әртүрлі супержіп теорияларының физикалық тұрғыдан тең екенін көрсетеді. Осыған байланысты, 1990-шы жылдардың ортасында бес тұрақты супержіп теориясының барлығы М-теориясы деп аталатын бір ғана он бір өлшемді теорияның әртүрлі шектеу жағдайлары екені анықталды. Жалпы алғанда, T-дуалдық әртүрлі кеңістік-уақыт геометрияларына ие екі теорияны байланыстырады. Осылайша, T-дуалдық Планк масштабы физикасының теориясында геометрияның классикалық ұғымдарының бұзылуы мүмкін болатын сценарийді ұсынады. T-дуалдығы ұсынған геометриялық қатынастар таза математикада да маңызды. Шындығында, Эндрю Стромингер, Шинг Тунг Яу және Эрик Заслоудың SYZ болжамдарына сәйкес, T-дуалдық айна симметриясы деп аталатын тағы бір дуалдықпен тығыз байланысты, ол математиканың есептік алгебралық геометриясы саласында маңызды қолданысқа ие.
In theoretical physics, T duality (short for target space duality) is an equivalence of two physical theories, which may be either quantum field theories or string theories. In the simplest example of this relationship, one of the theories describes strings propagating in a spacetime shaped like a circle of some radius , while the other theory describes strings propagating on a spacetime shaped like a circle of radius proportional to The idea of T duality was first noted by Bala Sathiapalan in an obscure paper in 1987. The two T dual theories are equivalent in the sense that all observable quantities in one description are identified with quantities in the dual description. For example, momentum in one description takes discrete values and is equal to the number of times the string winds around the circle in the dual description. The idea of T duality can be extended to more complicated theories, including superstring theories. The existence of these dualities implies that seemingly different superstring theories are actually physically equivalent. This led to the realization, in the mid 1990s, that all of the five consistent superstring theories are just different limiting cases of a single eleven dimensional theory called M theory. In general, T duality relates two theories with different spacetime geometries. In this way, T duality suggests a possible scenario in which the classical notions of geometry break down in a theory of Planck scale physics. The geometric relationships suggested by T duality are also important in pure mathematics. Indeed, according to the SYZ conjecture of Andrew Strominger, Shing Tung Yau, and Eric Zaslow, T duality is closely related to another duality called mirror symmetry, which has important applications in a branch of mathematics called enumerative algebraic geometry.
Сызықтар мен дуалдық
Т-дуалдық – физикадағы дуалдықтың жалпы ұғымының нақты бір мысалы. Дуалдылық термині екі көрінетін түрлі физикалық жүйенің күрделі жолмен теңдей болып шығуына сілтеме жасайды. Егер екі теория дуалдық арқылы байланысты болса, онда бірінші теорияны бір жолмен өзгертуге болады, нәтижесінде ол екінші теорияға ұқсас болады. Осы трансформация кезінде екі теория бір-біріне дуалды деп есептеледі. Басқаша айтқанда, екі теория – бір құбылыстың әртүрлі математикалық сипаттамасы. Теориялық физикада зерттелген көптеген дуалдықтар сияқты, Т-дуалдық та іс тізбегі теориясы аясында ашылды. Іс тізбегі теориясында бөлшектер нөлдік өлшемді нүктелер емес, бір өлшемді кеңейтілген нысандар – іс тізбектері ретінде модеделденеді. Іс тізбектерінің физикасын әртүрлі өлшемдерде зерттеуге болады. Күнделікті өмірден таныс үш өлшемнен (жоғары/төмен, сол/оң, алға/артқа) басқа, іс тізбегі теориялары шеңберге жиырылған бір немесе бірнеше ықшам өлшемдерді қамтуы мүмкін. Бұл үшін стандартты мысал – бақша шланғысы сияқты көп өлшемді нысанды қарастыру. Егер шланғыны жеткілікті қашықтықтан қарасақ, оның тек бір өлшемі бар сияқты көрінеді: оның ұзындығы. Бірақ шланғыға жақындағанда, оның екінші өлшемі – оның шеңбері бар екенін байқаймыз. Осылайша, оның ішінде қозғалатын құмырсқа екі өлшемде қозғалады. Мұндай қосымша өлшемдер Т-дуалдығы үшін маңызды, ол радиусы белгілі бір шеңберде таралатын іс тізбектерін зерттейтін теорияны, радиусы басқаша шеңберде таралатын іс тізбектерін зерттейтін теориямен байланыстырады.
T duality is a particular example of a general notion of duality in physics. The term duality refers to a situation where two seemingly different physical systems turn out to be equivalent in a nontrivial way. If two theories are related by a duality, it means that one theory can be transformed in some way so that it ends up looking just like the other theory. The two theories are then said to be dual to one another under the transformation. Put differently, the two theories are mathematically different descriptions of the same phenomena. Like many of the dualities studied in theoretical physics, T duality was discovered in the context of string theory. In string theory, particles are modeled not as zero dimensional points but as one dimensional extended objects called strings. The physics of strings can be studied in various numbers of dimensions. In addition to three familiar dimensions from everyday experience (up/down, left/right, forward/backward), string theories may include one or more compact dimensions which are curled up into circles. A standard analogy for this is to consider multidimensional object such as a garden hose. If the hose is viewed from a sufficient distance, it appears to have only one dimension, its length. However, as one approaches the hose, one discovers that it contains a second dimension, its circumference. Thus, an ant crawling inside it would move in two dimensions. Such extra dimensions are important in T duality, which relates a theory in which strings propagate on a circle of some radius to a theory in which strings propagate on a circle of radius .
Кванттық момента
T дуалдылығы туындайтын ең қарапайым теориялар – дөңгелек нысандағы мақсатты кеңістіктерге ие екі өлшемді сигма модельдері, яғни тығыздалған еркін бозондар. Бұл – шеңбер тәрізді қиял кеңістікте тізбектердің таралуын сипаттайтын қарапайым кванттық өріс теориясы. Сондықтан, тізбектерді жазықтықтағы қисықтар ретінде модельдеуге болады, олар белгілі бір радиусы бар шеңбердің ішінде, мысалы, радиусы *R* болатын шеңберде жатады. Бұдан әрі, тізбектер жабық деп есептеледі (яғни, ұштары жоқ). Бұл шеңберді нақты түзудің көшірмесі ретінде қарастыруға болады, онда шеңбердің айналымының есебінен екі нүкте бірдей деп есептеледі. Осыдан кез келген уақытта тізбектің күйін бір нақты параметрдің функциясы ретінде көрсетуге болады. Мұндай функцияны Фурье қатары түрінде кеңейтуге болады:
The simplest theories in which T duality arises are two dimensional sigma models with circular target spaces, i. e. compactified free bosons. These are simple quantum field theories that describe propagation of strings in an imaginary spacetime shaped like a circle. The strings can thus be modeled as curves in the plane that are confined to lie in a circle, say of radius , about the origin. In what follows, the strings are assumed to be closed (that is, without endpoints). Denote this circle by One can think of this circle as a copy of the real line with two points identified if they differ by a multiple of the circle's circumference It follows that the state of a string at any given time can be represented as a function of a single real parameter Such a function can be expanded in a Fourier series as
Мұнда *n* – тізбектің шеңбердің айналасындағы оралу саны, ал Фурье қатарының тұрақты мүшесі бөлініп алынған. Бұл өрнек тізбектің белгілі бір уақыттағы конфигурациясын көрсететіндіктен, барлық коэффициенттер (*n* және тұрақты мүше) уақыттың функциялары болып табылады. Тұрақты мүшенің уақыт бойынша туындысын *p* деп белгілейік. Бұл теориядағы импульстің бір түрін білдіреді. Мұнда қарастырылып отырған тізбектердің жабық екенін пайдаланып, бұл импульс тек *p = nh* (мұнда *h* – тұрақты шама) сияқты дискретті мәндерді ғана қабылдайтынын көрсетуге болады. Физикалық тұрғыдан алғанда, импульс спектрі квантталған деуге болады.
Here denotes the winding number of the string around the circle, and the constant mode of the Fourier series has been singled out. Since this expression represents the configuration of a string at a fixed time, all coefficients ( and the ) are also functions of time. Let denote the time derivative of the constant mode This represents a type of momentum in the theory. One can show, using the fact that the strings considered here are closed, that this momentum can only take on discrete values of the form for some integer In more physical language, one says that the momentum spectrum is quantized.
Үстем жіптер
1990 жылдардың ортасына дейін, іс тізбесі теориясымен айналысатын физиктер теорияның бес ерекше нұсқасы бар деп есептеді: I тип, IIA тип, IIB тип және гетеротикалық іс тізбесі теориясының екі түрі (SO(32) және E8×E8). Әр түрлі теориялар әртүрлі тізбектерге мүмкіндік береді, ал төмен энергияда пайда болатын бөлшектер әртүрлі симметрияларды көрсетеді. 1990 жылдардың ортасында физиктер осы бес теорияның өте күрделі дуалдықтар арқылы байланысты екенін анықтады. Осы дуалдықтардың бірі – T-дуалдығы. Мысалы, IIA типті іс тізбесі теориясы T-дуалдығы арқылы IIB типті іс тізбесі теориясына тең екендігі, сондай-ақ гетеротикалық іс тізбесі теориясының екі нұсқасы T-дуалдығы арқылы байланысты екендігі көрсетілді. Осы дуалдықтардың болуы бес іс тізбесі теориясының, шындығында, әрқайсысы жеке теория емес екенін көрсетті. 1995 жылы Оңтүстік Калифорния университетінде өткен іс тізбесі теориясы конференциясында Эдвард Виттен осы бес теорияның барлығының қазір М-теория деп аталатын бір теорияның әртүрлі шектері екенін таңқаларлық түрде ұсынды. Виттеннің ұсынысы әртүрлі суперіс тізбесі теорияларының дуалдықтармен байланысты екендігі және IIA және E8×E8 типті гетеротикалық іс тізбесі теориялары он бір өлшемді супергравитация деп аталатын гравитациялық теориямен тығыз байланысты екендігіне негізделген. Оның бұл хабарламасынан кейін қазір екінші суперіс тізбесі революциясы деп аталатын жұмыстардың қарқынды дамуы басталды.
Up until the mid 1990s, physicists working on string theory believed there were five distinct versions of the theory: type I, type IIA, type IIB, and the two flavors of heterotic string theory (SO(32) and E8×E8). The different theories allow different types of strings, and the particles that arise at low energies exhibit different symmetries. In the mid 1990s, physicists noticed that these five string theories are actually related by highly nontrivial dualities. One of these dualities is T duality. For example, it was shown that type IIA string theory is equivalent to type IIB string theory via T duality and also that the two versions of heterotic string theory are related by T duality. The existence of these dualities showed that the five string theories were in fact not all distinct theories. In 1995, at the string theory conference at University of Southern California, Edward Witten made the surprising suggestion that all five of these theories were just different limits of a single theory now known as M theory. Witten's proposal was based on the observation that different superstring theories are linked by dualities and the fact that type IIA and E8×E8 heterotic string theories are closely related to a gravitational theory called eleven dimensional supergravity. His announcement led to a flurry of work now known as the second superstring revolution.
Айналы симметрия
Сызық теориясы мен алгебралық геометрияда "көзге көрінбейтін симметрия" термині Calabi–Yau көптіктер деп аталатын күрделі пішіндерді қамтитын құбылысты білдіреді. Бұл көптіктер жіптердің таралуына мүмкіндік беретін қызықты геометрияны ұсынады, ал нәтижедегі теориялар бөлшектер физикасында қолданылуы мүмкін. 1980 жылдардың соңында мұндай Calabi–Yau көптігі теорияның физикасын бірегей түрде анықтамайтыны байқалды. Керісінше, бірдей физиканы тудыратын екі Calabi–Yau көптігі бар екені анықталды. Мұндай көптіктер бір-біріне "көзге көрінбейтін" дейді. Бұл көзге көрінбейтін дуалдық – жүйке теориясындағы маңызды есептеу құралы, ол математиктерге санау геометриясының қиын мәселелерін шешуге көмектеседі. Көзге көрінбейтін симметрияны түсінудің бір жолы – 1996 жылы Эндрю Стромингер, Шинг Тунг Яу және Эрик Заслоу ұсынған SYZ болжамы. SYZ болжамы бойынша, көзге көрінбейтін симметрияны күрделі Calabi–Yau көптігін қарапайым бөліктерге бөлу және осы бөліктерге T-дуалдығының әсерін қарастыру арқылы түсінуге болады. Calabi–Yau көптігінің ең қарапайым мысалы – тор (донат пішіндес бет). Мұндай бетті екі шеңбердің көбейтіндісі ретінде қарастыруға болады. Яғни, торды бойлық шеңберлер жиынтығының бірігуі ретінде қарастыруға болады (мысалы, суреттегі қызыл шеңбер). Бұл шеңберлердің қалай ұйымдастырылғанын көрсететін қосалқы кеңістік бар, және бұл кеңістік өзі шеңбер (қызғылт шеңбер) болып табылады. Бұл кеңістік тордағы бойлық шеңберлерді параметрлейді. Осы жағдайда, көзге көрінбейтін симметрия T-дуалдығының бойлық шеңберлерге әсер етуімен тең, олардың радиустарын -ден -ге дейін өзгертеді, мұнда жіп кернеуінің кері шамасы. SYZ болжамы бұл идеяны жоғарыда көрсетілгендей алты өлшемді Calabi–Yau көптіктердің күрделі жағдайына жалпылайды. Тор жағдайындағыдай, алты өлшемді Calabi–Yau көптігін қарапайым бөліктерге бөлуге болады, бұл жағдайда 3 тор (торостың түсінігін жалпылайтын үш өлшемді объектілер) 3 сфера (сфераның үш өлшемді жалпылауы) арқылы параметрленеді. T-дуалдығын шеңберлерден осы ыдырауда пайда болатын үш өлшемді торларға дейін кеңейтуге болады, ал SYZ болжамы көзге көрінбейтін симметрияның осы үш өлшемді торларға T-дуалдығын бір мезгілде қолданумен тең екенін айтады. Осылайша, SYZ болжамы Calabi–Yau көптігінде көзге көрінбейтін симметрияның қалай әрекет ететінін геометриялық тұрғыдан көрсетеді.
In string theory and algebraic geometry, the term "mirror symmetry" refers to a phenomenon involving complicated shapes called Calabi–Yau manifolds. These manifolds provide an interesting geometry on which strings can propagate, and the resulting theories may have applications in particle physics. In the late 1980s, it was noticed that such a Calabi–Yau manifold does not uniquely determine the physics of the theory. Instead, one finds that there are two Calabi–Yau manifolds that give rise to the same physics. These manifolds are said to be "mirror" to one another. This mirror duality is an important computational tool in string theory, and it has allowed mathematicians to solve difficult problems in enumerative geometry. One approach to understanding mirror symmetry is the SYZ conjecture, which was suggested by Andrew Strominger, Shing Tung Yau, and Eric Zaslow in 1996. According to the SYZ conjecture, mirror symmetry can be understood by dividing a complicated Calabi–Yau manifold into simpler pieces and considering the effects of T duality on these pieces. The simplest example of a Calabi–Yau manifold is a torus (a surface shaped like a donut). Such a surface can be viewed as the product of two circles. This means that the torus can be viewed as the union of a collection of longitudinal circles (such as the red circle in the image). There is an auxiliary space which says how these circles are organized, and this space is itself a circle (the pink circle). This space is said to parametrize the longitudinal circles on the torus. In this case, mirror symmetry is equivalent to T duality acting on the longitudinal circles, changing their radii from to , with the inverse of the string tension. The SYZ conjecture generalizes this idea to the more complicated case of six dimensional Calabi–Yau manifolds like the one illustrated above. As in the case of a torus, one can divide a six dimensional Calabi–Yau manifold into simpler pieces, which in this case are 3 tori (three dimensional objects which generalize the notion of a torus) parametrized by a 3 sphere (a three dimensional generalization of a sphere). T duality can be extended from circles to the three dimensional tori appearing in this decomposition, and the SYZ conjecture states that mirror symmetry is equivalent to the simultaneous application of T duality to these three dimensional tori. In this way, the SYZ conjecture provides a geometric picture of how mirror symmetry acts on a Calabi–Yau manifold.