Т-двойственность в теории струн: эквивалентность физических теорий
T-duality
Т-дуальность в физике: эквивалентность двух теорий, описывающих струны в разных пространствах. Связь между радиусами и импульсом струн. Основы суперструн.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Эквивалентность двух физических теорий
Equivalence of two physical theories
В теоретической физике, Т-дуальность (сокращение от двойственности целевого пространства) — это эквивалентность двух физических теорий, которые могут быть как квантовыми теориями поля, так и теориями струн. В простейшем примере этого соотношения одна из теорий описывает струны, распространяющиеся в пространстве-времени, имеющем форму окружности некоторого радиуса *R*, а другая теория описывает струны, распространяющиеся в пространстве-времени, имеющем форму окружности радиуса, обратно пропорционального *R*. Идея Т-дуальности была впервые отмечена Бала Сатьяпаланом в малоизвестной работе в 1987 году. Две Т-дуальные теории эквивалентны в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойном описании. Например, импульс в одном описании принимает дискретные значения и равен числу оборотов струны вокруг окружности в двойном описании. Идею Т-дуальности можно распространить на более сложные теории, включая теории суперструн. Существование этих двойственностей подразумевает, что, казалось бы, различные теории суперструн на самом деле физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять непротиворечивых теорий суперструн являются просто различными предельными случаями единой одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией. В общем случае, Т-дуальность связывает две теории с различными геометриями пространства-времени. Таким образом, Т-дуальность предполагает возможный сценарий, в котором классические представления о геометрии разрушаются в теории физики планковских масштабов. Геометрические соотношения, предложенные Т-дуальностью, также важны в чистой математике. Действительно, согласно гипотезе SYZ Эндрю Стромингера, Шинга Тунга Яу и Эрика Заслоу, Т-дуальность тесно связана с другой двойственностью, называемой зеркальной симметрией, которая имеет важное применение в области математики, называемой энумеративной алгебраической геометрией.
In theoretical physics, T duality (short for target space duality) is an equivalence of two physical theories, which may be either quantum field theories or string theories. In the simplest example of this relationship, one of the theories describes strings propagating in a spacetime shaped like a circle of some radius , while the other theory describes strings propagating on a spacetime shaped like a circle of radius proportional to The idea of T duality was first noted by Bala Sathiapalan in an obscure paper in 1987. The two T dual theories are equivalent in the sense that all observable quantities in one description are identified with quantities in the dual description. For example, momentum in one description takes discrete values and is equal to the number of times the string winds around the circle in the dual description. The idea of T duality can be extended to more complicated theories, including superstring theories. The existence of these dualities implies that seemingly different superstring theories are actually physically equivalent. This led to the realization, in the mid 1990s, that all of the five consistent superstring theories are just different limiting cases of a single eleven dimensional theory called M theory. In general, T duality relates two theories with different spacetime geometries. In this way, T duality suggests a possible scenario in which the classical notions of geometry break down in a theory of Planck scale physics. The geometric relationships suggested by T duality are also important in pure mathematics. Indeed, according to the SYZ conjecture of Andrew Strominger, Shing Tung Yau, and Eric Zaslow, T duality is closely related to another duality called mirror symmetry, which has important applications in a branch of mathematics called enumerative algebraic geometry.
Струнные связи и двойственность
Т-двойственность — это конкретный пример общего понятия двойственности в физике. Термин «двойственность» относится к ситуации, когда две, казалось бы, различные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одна теория может быть преобразована таким образом, чтобы она в итоге выглядела точно как другая теория. Тогда говорят, что две теории двойственны друг другу относительно этого преобразования. Иными словами, две теории — это математически различные описания одного и того же явления. Как и многие двойственности, изучаемые в теоретической физике, Т-двойственность была открыта в контексте теории струн. В теории струн частицы моделируются не как точки нулевой размерности, а как одномерные протяженные объекты, называемые струнами. Физику струн можно изучать в различных числах измерений. Помимо трех привычных измерений из повседневного опыта (вверх/вниз, влево/вправо, вперед/назад), теории струн могут включать одно или несколько компактифицированных измерений, свернутых в окружности. Стандартная аналогия для этого — рассмотреть многомерный объект, такой как садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, он кажется одномерным — его длина. Однако, приближаясь к шлангу, можно обнаружить, что он содержит второе измерение — его окружность. Таким образом, муравей, ползающий внутри него, будет двигаться в двух измерениях. Такие дополнительные измерения важны для Т-двойственности, которая связывает теорию, в которой струны распространяются по окружности некоторого радиуса, с теорией, в которой струны распространяются по окружности радиуса .
T duality is a particular example of a general notion of duality in physics. The term duality refers to a situation where two seemingly different physical systems turn out to be equivalent in a nontrivial way. If two theories are related by a duality, it means that one theory can be transformed in some way so that it ends up looking just like the other theory. The two theories are then said to be dual to one another under the transformation. Put differently, the two theories are mathematically different descriptions of the same phenomena. Like many of the dualities studied in theoretical physics, T duality was discovered in the context of string theory. In string theory, particles are modeled not as zero dimensional points but as one dimensional extended objects called strings. The physics of strings can be studied in various numbers of dimensions. In addition to three familiar dimensions from everyday experience (up/down, left/right, forward/backward), string theories may include one or more compact dimensions which are curled up into circles. A standard analogy for this is to consider multidimensional object such as a garden hose. If the hose is viewed from a sufficient distance, it appears to have only one dimension, its length. However, as one approaches the hose, one discovers that it contains a second dimension, its circumference. Thus, an ant crawling inside it would move in two dimensions. Such extra dimensions are important in T duality, which relates a theory in which strings propagate on a circle of some radius to a theory in which strings propagate on a circle of radius .
Квантовая момента
Самые простые теории, в которых возникает T-двойственность, — это двумерные сигма-модели с круговыми целевыми пространствами, то есть компактифицированные свободные бозоны. Это простые квантовые теории поля, описывающие распространение струн в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга. Таким образом, струны можно моделировать как кривые на плоскости, ограниченные областью круга радиуса , с центром в начале координат. В дальнейшем предполагается, что струны замкнуты (то есть не имеют концов). Этот круг можно рассматривать как копию вещественной прямой, в которой две точки отождествляются, если их разность кратна окружности круга. Следовательно, состояние струны в любой момент времени можно представить как функцию одного вещественного параметра. Эту функцию можно разложить в ряд Фурье следующим образом:
The simplest theories in which T duality arises are two dimensional sigma models with circular target spaces, i. e. compactified free bosons. These are simple quantum field theories that describe propagation of strings in an imaginary spacetime shaped like a circle. The strings can thus be modeled as curves in the plane that are confined to lie in a circle, say of radius , about the origin. In what follows, the strings are assumed to be closed (that is, without endpoints). Denote this circle by One can think of this circle as a copy of the real line with two points identified if they differ by a multiple of the circle's circumference It follows that the state of a string at any given time can be represented as a function of a single real parameter Such a function can be expanded in a Fourier series as
Здесь обозначает число обмоток струны вокруг круга, а постоянная мода ряда Фурье выделена отдельно. Поскольку это выражение описывает конфигурацию струны в фиксированный момент времени, все коэффициенты (и ) также являются функциями времени. Пусть обозначает производную по времени постоянной моды. Это представляет собой тип импульса в теории. Можно показать, используя тот факт, что рассматриваемые струны замкнуты, что этот импульс может принимать только дискретные значения вида для некоторого целого числа. Другими словами, спектр импульса квантован.
Here denotes the winding number of the string around the circle, and the constant mode of the Fourier series has been singled out. Since this expression represents the configuration of a string at a fixed time, all coefficients ( and the ) are also functions of time. Let denote the time derivative of the constant mode This represents a type of momentum in the theory. One can show, using the fact that the strings considered here are closed, that this momentum can only take on discrete values of the form for some integer In more physical language, one says that the momentum spectrum is quantized.
Суперструнные
До середины 1990-х годов физики, работавшие над теорией струн, полагали, что существует пять различных версий теории: тип I, тип IIA, тип IIB и два варианта гетеротической теории струн (SO(32) и E8×E8). Различные теории допускают различные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, демонстрируют различные симметрии. В середине 1990-х физики обнаружили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны между собой весьма нетривиальными двойственностями. Одной из таких двойственностей является T-двойственность. Например, было показано, что теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB посредством T-двойственности, а также что два варианта гетеротической теории струн связаны T-двойственностью. Существование этих двойственностей показало, что пять теорий струн на самом деле не являлись полностью различными теориями. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен выдвинул неожиданное предположение, что все пять этих теорий – это просто различные пределы единой теории, теперь известной как M-теория. Предложение Виттена основывалось на наблюдении, что различные теории суперструн связаны двойственностями, и на том факте, что теории гетеротических струн типа IIA и E8×E8 тесно связаны с гравитационной теорией, называемой одиннадцатимерной супергравитацией. Его заявление положило начало активным исследованиям, известным как вторая суперструнная революция.
Up until the mid 1990s, physicists working on string theory believed there were five distinct versions of the theory: type I, type IIA, type IIB, and the two flavors of heterotic string theory (SO(32) and E8×E8). The different theories allow different types of strings, and the particles that arise at low energies exhibit different symmetries. In the mid 1990s, physicists noticed that these five string theories are actually related by highly nontrivial dualities. One of these dualities is T duality. For example, it was shown that type IIA string theory is equivalent to type IIB string theory via T duality and also that the two versions of heterotic string theory are related by T duality. The existence of these dualities showed that the five string theories were in fact not all distinct theories. In 1995, at the string theory conference at University of Southern California, Edward Witten made the surprising suggestion that all five of these theories were just different limits of a single theory now known as M theory. Witten's proposal was based on the observation that different superstring theories are linked by dualities and the fact that type IIA and E8×E8 heterotic string theories are closely related to a gravitational theory called eleven dimensional supergravity. His announcement led to a flurry of work now known as the second superstring revolution.
Зеркальная симметрия
В теории струн и алгебраической геометрии термин "зеркальная симметрия" относится к явлению, включающему сложные формы, называемые многообразиями Калаби–Яу. Эти многообразия предоставляют интересную геометрию, на которой могут распространяться струны, и полученные теории могут иметь применение в физике частиц. В конце 1980-х годов было замечено, что такое многообразие Калаби–Яу не однозначно определяет физику теории. Вместо этого обнаруживается, что существуют два многообразия Калаби–Яу, порождающие одну и ту же физику. Эти многообразия называют "зеркальными" друг другу. Эта зеркальная двойственность является важным вычислительным инструментом в теории струн и позволила математикам решать сложные задачи в энумеративной геометрии. Одним из подходов к пониманию зеркальной симметрии является гипотеза SYZ, предложенная Эндрю Стромингером, Шингом Тунгом Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. Согласно гипотезе SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив сложное многообразие Калаби–Яу на более простые части и рассмотрев влияние T-дуальности на эти части. Самый простой пример многообразия Калаби–Яу — это тор (поверхность в форме бублика). Такую поверхность можно рассматривать как произведение двух окружностей. Это означает, что тор можно рассматривать как объединение коллекции продольных окружностей (например, красной окружности на изображении). Существует вспомогательное пространство, описывающее организацию этих окружностей, и само это пространство является окружностью (розовая окружность). Говорят, что это пространство параметризует продольные окружности на торе. В этом случае зеркальная симметрия эквивалентна T-дуальности, действующей на продольные окружности, изменяя их радиусы от до , где — величина, обратная напряжению струны. Гипотеза SYZ обобщает эту идею на более сложный случай шестимерных многообразий Калаби–Яу, как показано выше. Как и в случае тора, шестимерное многообразие Калаби–Яу можно разделить на более простые части, которые в данном случае являются 3 торами (трехмерными объектами, обобщающими понятие тора), параметризованными 3-сферой (трехмерным обобщением сферы). T-дуальность можно расширить с окружностей на трехмерные торы, возникающие в этом разложении, и гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим трехмерным торам. Таким образом, гипотеза SYZ предоставляет геометрическую картину того, как зеркальная симметрия действует на многообразие Калаби–Яу.
In string theory and algebraic geometry, the term "mirror symmetry" refers to a phenomenon involving complicated shapes called Calabi–Yau manifolds. These manifolds provide an interesting geometry on which strings can propagate, and the resulting theories may have applications in particle physics. In the late 1980s, it was noticed that such a Calabi–Yau manifold does not uniquely determine the physics of the theory. Instead, one finds that there are two Calabi–Yau manifolds that give rise to the same physics. These manifolds are said to be "mirror" to one another. This mirror duality is an important computational tool in string theory, and it has allowed mathematicians to solve difficult problems in enumerative geometry. One approach to understanding mirror symmetry is the SYZ conjecture, which was suggested by Andrew Strominger, Shing Tung Yau, and Eric Zaslow in 1996. According to the SYZ conjecture, mirror symmetry can be understood by dividing a complicated Calabi–Yau manifold into simpler pieces and considering the effects of T duality on these pieces. The simplest example of a Calabi–Yau manifold is a torus (a surface shaped like a donut). Such a surface can be viewed as the product of two circles. This means that the torus can be viewed as the union of a collection of longitudinal circles (such as the red circle in the image). There is an auxiliary space which says how these circles are organized, and this space is itself a circle (the pink circle). This space is said to parametrize the longitudinal circles on the torus. In this case, mirror symmetry is equivalent to T duality acting on the longitudinal circles, changing their radii from to , with the inverse of the string tension. The SYZ conjecture generalizes this idea to the more complicated case of six dimensional Calabi–Yau manifolds like the one illustrated above. As in the case of a torus, one can divide a six dimensional Calabi–Yau manifold into simpler pieces, which in this case are 3 tori (three dimensional objects which generalize the notion of a torus) parametrized by a 3 sphere (a three dimensional generalization of a sphere). T duality can be extended from circles to the three dimensional tori appearing in this decomposition, and the SYZ conjecture states that mirror symmetry is equivalent to the simultaneous application of T duality to these three dimensional tori. In this way, the SYZ conjecture provides a geometric picture of how mirror symmetry acts on a Calabi–Yau manifold.