Кіріспе
Сандар теориясындағы математикалық тұрақты
In number theory, Aleksandr Yakovlevich Khinchin proved that for almost all real numbers x, coefficients ai of the continued fraction expansion of x have a finite geometric mean that is independent of the value of x and is known as Khinchin's constant. That is, for
Сандар теориясында Александр Яковлевич Хинчин x нақты санының тізбекті бөлшекке жіктелімінің ai коэффициенттерінің x мәніне тәуелсіз шекті геометриялық орташаға ие екенін және бұл шама Хинчин тұрақтысы деп аталатынын дәлелдеді. Яғни,
жағдайында, дерлік барлық жағдайларда келесі теңдік орындалады:
мұндағы – Хинчин тұрақтысы (барлық тізбек мүшелері бойынша көбейтіндіні білдіреді). Барлық сандар дерлік осы қасиетті қанағаттандырса да, осы мақсат үшін арнайы құрастырылмаған нақты сан үшін бұл дәлелденген жоқ. Тізбекті бөлшекке жіктелімі осы қасиетке ие болады деп саналатын (сандық мәліметтерге сүйене отырып) сандардың арасында π, Эйлер-Маскерони тұрақтысы γ, Апери тұрақтысы ζ(3) және Хинчин тұрақтысының өзі бар. Дегенмен, бұл әлі дәлелденбеген. Тізбекті бөлшекке жіктелімінде осы қасиетке ие емес екені белгілі сандарға рационал сандар, квадрат теңдеулердің түбірлері (алтын пропорция Φ және бүтін сандардың квадрат түбірлері сияқты) және табиғи логарифмнің негізі e жатады.
Хинчин кейде ескі математикалық әдебиеттерде Хинтчин (орыс Хинчин сөзінің француз транслитерациясы) деп те жазылады.
Дәлелдің сызбасы
Мұнда ұсынылған дәлелді Чеслав Рилл Нардзевский дайындаған, ол Хинчиннің бастапқы дәлелінен әлдеқайда қарапайым, себебі Хинчиннің бастапқы дәлелінде эргодикалық теория қолданылмаған. Х санының тізбектік бөлшегінің бірінші коэффициенті a0 Хинчин теоремасында ешқандай рөл атқармайды, ал рационал сандар Лебег өлшемі нөлге тең болғандықтан, біз бірлік аралығындағы иррационал сандарды зерттеуге келеміз, яғни [0; a1, a2, ] түріндегі шексіз тізбектік бөлшектермен сәйкес келетін сандарды, оларды біз жай ғана [a1, a2, ] деп жазамыз, мұнда a1, a2 – оң бүтін сандар. Т:I → I түрлендіруін анықтаймыз. Т түрлендіруі Гаусс-Кузьмин-Вирсинг операторы деп аталады. I-дің кез келген Борель жиыны E үшін біз E-нің Гаусс-Кузьмин өлшемін де анықтаймыз. Онда μ – I-дің Борель жиындарының σ-алгебрасындағы ықтималдық өлшемі. μ өлшемі I-дегі Лебег өлшеміне эквивалентті, бірақ ол T түрлендіруі μ өлшемін сақтайтын қосымша қасиетке ие. Сонымен қатар, T – ықтималдық өлшемі μ берілген өлшенетін кеңістіктің эргодикалық түрлендіруі екенін дәлелдеуге болады (бұл дәлелдеудің ең қиын бөлігі). Эргодикалық теорема бойынша, кез келген μ-интегралданатын f функциясы үшін I аралығында орташа мәні дерлік барлық нүктелерде бірдей:
The transformation T is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator. For every Borel subset E of I, we also define the Gauss–Kuzmin measure of E
Then μ is a probability measure on the σ algebra of Borel subsets of I. The measure μ is equivalent to the Lebesgue measure on I, but it has the additional property that the transformation T preserves the measure μ. Moreover, it can be proved that T is an ergodic transformation of the measurable space I endowed with the probability measure μ (this is the hard part of the proof). The ergodic theorem then says that for any μ integrable function f on I, the average value of is the same for almost all :
Applying this to the function defined by f([a1, a2, ]) = log(a1), we obtain that
for almost all [a1, a2, ] in I as n → ∞. Taking the exponential on both sides, we obtain to the left the geometric mean of the first n coefficients of the continued fraction, and to the right Khinchin's constant.
Бұл теореманы f([a1, a2, ]) = log(a1) арқылы анықталған функцияға қолданғанда, біз I аралығындағы барлық [a1, a2, ] үшін n → ∞ болғанда келесіні аламыз:
The transformation T is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator. For every Borel subset E of I, we also define the Gauss–Kuzmin measure of E
Then μ is a probability measure on the σ algebra of Borel subsets of I. The measure μ is equivalent to the Lebesgue measure on I, but it has the additional property that the transformation T preserves the measure μ. Moreover, it can be proved that T is an ergodic transformation of the measurable space I endowed with the probability measure μ (this is the hard part of the proof). The ergodic theorem then says that for any μ integrable function f on I, the average value of is the same for almost all :
Applying this to the function defined by f([a1, a2, ]) = log(a1), we obtain that
for almost all [a1, a2, ] in I as n → ∞. Taking the exponential on both sides, we obtain to the left the geometric mean of the first n coefficients of the continued fraction, and to the right Khinchin's constant.
Екі жақтан экспонента алғанда, сол жақта тізбектік бөлшектің алғашқы n коэффициенттерінің геометриялық ортасы, ал оң жақта Хинчин тұрақтысы шығады.
The transformation T is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator. For every Borel subset E of I, we also define the Gauss–Kuzmin measure of E
Then μ is a probability measure on the σ algebra of Borel subsets of I. The measure μ is equivalent to the Lebesgue measure on I, but it has the additional property that the transformation T preserves the measure μ. Moreover, it can be proved that T is an ergodic transformation of the measurable space I endowed with the probability measure μ (this is the hard part of the proof). The ergodic theorem then says that for any μ integrable function f on I, the average value of is the same for almost all :
Applying this to the function defined by f([a1, a2, ]) = log(a1), we obtain that
for almost all [a1, a2, ] in I as n → ∞. Taking the exponential on both sides, we obtain to the left the geometric mean of the first n coefficients of the continued fraction, and to the right Khinchin's constant.
Ашық мәселелер
, Эйлер–Маскерони тұрақтысы γ және Хинчин тұрақтысының өзі, сандық мәліметтерге сүйенсек, жалғасқан бөлшектерінің коэффициенттерінің ai геометриялық орташасы Хинчин тұрақтысына жақындасады деп есептеледі. Алайда, ешбір шектеу нақты дәлелденген жоқ. Хинчин тұрақтысының рационал, алгебралық иррационал немесе трансцендентті сан екені әлі белгісіз.