Введение

Математическая константа в теории чисел
В теории чисел Александр Яковлевич Хинчин доказал, что для почти всех действительных чисел x коэффициенты ai в разложении x в непрерывную дробь имеют конечное геометрическое среднее, не зависящее от значения x и известное как константа Хинчина. То есть, для

почти всегда верно, что

где – константа Хинчина (обозначает произведение по всем членам последовательности). Хотя почти все числа удовлетворяют этому свойству, оно не доказано ни для одного действительного числа, не сконструированного специально для этой цели. Среди чисел, у которых, по-видимому, разложения в непрерывную дробь обладают этим свойством (на основании численных данных), – π, постоянная Эйлера — Маскерони γ, постоянная Апери ζ(3) и сама константа Хинчина. Однако это не доказано. Среди чисел x, для которых известно, что их разложения в непрерывную дробь не обладают этим свойством, – рациональные числа, корни квадратных уравнений (включая золотое сечение Φ и квадратные корни из целых чисел), а также основание натурального логарифма e.

Хинчин иногда пишется как Хинчин (французская транслитерация русского Хинчин) в старой математической литературе.

Схема доказательства

Представленное здесь доказательство было организовано Чеславом Риллом Нардзевским и намного проще, чем оригинальное доказательство Хинчина, в котором не использовалась эргодическая теория. Поскольку первый коэффициент a₀ непрерывной дроби x не играет никакой роли в теореме Хинчина, и поскольку рациональные числа имеют меру Лебега, равную нулю, мы сводимся к изучению иррациональных чисел в единичном интервале, то есть чисел вида Эти числа находятся в биекции с бесконечными непрерывными дробями вида [0; a₁, a₂,…], которые мы просто записываем как [a₁, a₂,…], где a₁, a₂,… – положительные целые числа. Определим преобразование T: I → I следующим образом:

Преобразование T называется оператором Гаусса — Кузьмина — Вирсинга. Для каждого борелевского подмножества E множества I мы также определяем меру Гаусса — Кузьмина для E:

Тогда μ является мерой вероятности на σ-алгебре борелевских подмножеств I. Мера μ эквивалентна мере Лебега на I, но обладает дополнительным свойством: преобразование T сохраняет меру μ. Более того, можно доказать, что T является эргодическим преобразованием измеримого пространства I, наделённого мерой вероятности μ (это наиболее сложная часть доказательства). Эргодическая теорема утверждает, что для любой μ-интегрируемой функции f на I среднее значение равно почти для всех:

Применяя это к функции, определённой как f([a₁, a₂,…]) = log(a₁), мы получаем, что

для почти всех [a₁, a₂,…] из I при n → ∞. Возводя обе части в степень, получаем слева геометрическое среднее первых n коэффициентов непрерывной дроби, а справа — постоянную Хинчина.

Открытые проблемы

, постоянная Эйлера — Маскерони γ и сама постоянная Хинчина, судя по численным данным, предположительно входят в число чисел, для которых геометрическое среднее коэффициентов ai в их разложении в цепную дробь стремится к постоянной Хинчина. Однако ни один из этих пределов строго не доказан. Неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.