Введение

Метод интерполяции

В статистике, первоначально в геостатистике, кригинг или Kriging, (произносится /ˈk//r//iː//ɡ//ɪ//ŋ/), также известный как регрессия гауссовского процесса, является методом интерполяции, основанным на гауссовском процессе, определяемом априорными ковариациями. При выполнении соответствующих предположений об априорном распределении, кригинг обеспечивает наилучший линейный несмещенный прогноз (BLUP) в точках, где измерения не проводились. Методы интерполяции, основанные на других критериях, таких как гладкость (например, сплайн-сглаживание), могут не давать BLUP. Метод широко используется в области пространственного анализа и компьютерного моделирования. Эта техника также известна как предсказание Винера — Колмогорова, в честь Норберта Винера и Андрея Колмогорова. Теоретическая основа метода была разработана французским математиком Жоржем Матэроном в 1960 году, на основе магистерской диссертации Дэни Г. Криге, пионера в разработке метода взвешенного среднего для оценки содержания золота по расстоянию в рифовом комплексе Витватерсранд в Южной Африке. Криге стремился оценить наиболее вероятное распределение золота на основе данных, полученных из небольшого числа скважин. Английский глагол – to krige, а наиболее распространенное существительное – kriging. В литературе слово иногда пишется с большой буквы как Kriging. Несмотря на то, что в своей базовой формулировке кригинг требует значительных вычислительных ресурсов, его можно масштабировать для решения более сложных задач, используя различные методы аппроксимации.

Сопутствующие термины и методы

Кригинг предсказывает значение функции в заданной точке, вычисляя взвешенное среднее известных значений функции в окрестности этой точки. Метод тесно связан с регрессионным анализом. Обе теории выводят наилучший линейный несмещенный оценщик, основанный на предположениях о ковариациях, используют теорему Гаусса-Маркова для доказательства независимости оценки и ошибки, и применяют очень похожие формулы. Тем не менее, они полезны в различных областях: кригинг предназначен для оценки единственной реализации случайного поля, в то время как регрессионные модели основаны на множественных наблюдениях многомерного набора данных. Оценка кригинга также может рассматриваться как сплайн в воспроизводящемся ядре пространства Гильберта, где воспроизводящее ядро задается функцией ковариантности. Различие с классическим подходом к кригингу заключается в интерпретации: в то время как сплайн обусловлен интерполяцией минимальной нормы, основанной на структуре пространства Гильберта, кригинг обусловлен ожидаемой квадратичной ошибкой прогноза, основанной на стохастической модели. Кригинг с полиномиальными поверхностями тренда математически идентичен обобщенному методу наименьших квадратов для полиномиальной аппроксимации. Кригинг также можно понимать как форму байесовской оптимизации. Кригинг начинается с априорного распределения по функциям. Это априорное распределение принимает форму гауссовского процесса: выборки из функции будут нормально распределены, где ковариация между любыми двумя выборками является ковариантной функцией (или ядром) гауссовского процесса, вычисленной в пространственном положении двух точек. Затем наблюдается набор значений, каждое из которых связано с пространственным местоположением. Теперь новое значение можно предсказать в любом новом пространственном местоположении, комбинируя гауссовское априорное распределение с гауссовской функцией правдоподобия для каждого из наблюдаемых значений. Полученное апостериорное распределение также является гауссовским, со средним и ковариацией, которые можно просто вычислить из наблюдаемых значений, их дисперсии и матрицы ядра, полученной из априорного распределения.

Свойства

Оценка кригинга является несмещенной: оценка кригинга воспроизводит фактически наблюдаемое значение (при условии отсутствия ошибки измерения). Оценка кригинга является наилучшим линейным несмещенным оценщиком, если выполняются предположения. Однако (например, Кресси 1993): Как и любой другой метод, кригинг может давать плохие результаты, если предположения не выполняются. Могут существовать более эффективные нелинейные и/или смещенные методы. При использовании неверной вариограммы никакие свойства не гарантируются. Тем не менее, как правило, достигается "хорошая" интерполяция. Наилучшее не обязательно означает хорошее: например, при отсутствии пространственной зависимости интерполяция кригингом не лучше, чем простое среднее арифметическое. Кригинг предоставляет дисперсию в качестве меры точности. Однако эта мера зависит от корректности вариограммы.

Проектирование и анализ компьютерных экспериментов

Еще одна очень важная и быстро развивающаяся область применения в инженерии – интерполяция данных, получаемых в качестве выходных переменных детерминированных компьютерных симуляций, например, симуляций методом конечных элементов (FEM). В этом случае кригинг используется как инструмент метамоделирования, то есть как "черный ящик", построенный на основе специально спланированного набора компьютерных экспериментов. Во многих практических инженерных задачах, таких как разработка процесса обработки металлов давлением, одна симуляция FEM может занимать несколько часов или даже несколько дней. Поэтому эффективнее проводить и анализировать ограниченное число компьютерных симуляций, а затем использовать кригинговый интерполятор для быстрого прогнозирования результата в любой другой точке параметров. Таким образом, кригинг часто применяется в качестве так называемой суррогатной модели, встроенной в алгоритмы оптимизации.

Исторические ссылки

Агтерберг, Ф. П., Геоматематика, математические основы и применение в геонауках, Elsevier Scientific Publishing Company, Амстердам, 1974. Кресси, Н. А. К., Истоки кригинга, Математическая геология, т. 22, стр. 239–252, 1990. Криге, Д. Г., Статистический подход к оценке некоторых месторождений и связанных с ними проблем на Витватерсранде, магистерская диссертация Университета Витватерсранда, 1951. Линк, Р. Ф. и Кох, Г. С., Экспериментальные планы и анализ трендовой поверхности, Геостатистика, коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970. Матерон, Г., "Принципы геостатистики", Экономическая геология, 58, стр. 1246–1266, 1963. Матерон, Г., "Внутренние случайные функции и их применение", Adv. Appl. Prob., 5, стр. 439–468, 1973. Мерриам, Д. Ф. (редактор), Геостатистика, коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970.