Кригинг: Интерполяциялық әдіс және қолданылуы

Кіріспе

Интерполяция әдісі

Статистикада, бастапқыда геостатистикада, kriging немесе Kriging, ('/k//r//iː//ɡ//ɪ//ŋ/), сондай-ақ Гаусс процесінің регрессиясы деп аталады, бұл алдыңғы коварианстармен басқарылатын Гаусс процесіне негізделген интерполяция әдісі. Алдын алағы шарттар орындалған жағдайда, kriging үлгі алынбаған жерлерде ең жақсы сызықтық және бөгде жағдайсыз болжамды (BLUP) береді. Тегістеу сияқты басқа критерийлерге негізделген интерполяция әдістері (мысалы, тегістеу сплайны) BLUP-ты қамтамасыз етпеуі мүмкін. Бұл әдіс кеңістіктік талдау және компьютерлік эксперименттер саласында кеңінен қолданылады. Бұл техника Норберт Винер мен Андрей Колмогоровтың құрметіне Винер–Колмогоров болжамы деп те аталады. Әдістің теориялық негізін француз математигі Жорж Матерон 1960 жылы, Оңтүстік Африкадағы Витвотерсранд риф кешеніндегі қашықтыққа салмақталған орташа алтын кендерінің алғашқы сызғышы Дани Г. Кридждің магистрлік диссертациясы негізінде жасады. Кридж бірнеше бұрғылау ұңғымаларынан алынған үлгілер негізінде алтынның ең мүмкін таралуын бағауға тырысты. Ағылшын тіліндегі етістік – to krige, ал ең көп қолданылатын есімдік – kriging. Бұл сөз әдебиетте кейде Kriging деп жазылады. Бастапқы формуласында есептеулер күрделі болғанымен, kriging әр түрлі жуықтау әдістерін қолдану арқылы үлкен проблемаларға бейімделуге болады.

Қатынасты терминдер мен әдістер

Кригинг функцияның белгілі бір нүктедегі мәнін функцияның белгілі мәндерінің салмақты орташасын есептеу арқылы болжайды. Бұл әдіс регрессиялық талдаумен тығыз байланысты. Екі теория да ковариациялық болжамдарға негізделген ең жақсы сызықтық бөгде бағалаушыны шығарады, бағалау мен қателік арасындағы тәуелсіздікті дәлелдеу үшін Гаусс-Марков теоремасын қолданады және өте ұқсас формулаларды пайдаланады. Дегенмен, олар әртүрлі аяларда қолданылады: кригинг кездейсоқ өрістің бір ғана іске асырылуын бағалау үшін жасалған, ал регрессия модельдері көпөлшемді деректер жиынтығының бірнеше байқауларына негізделген. Кригинг бағалауын қайта жаңарту ядросы бар Хилберт кеңістігіндегі сплайн ретінде де қарастыруға болады, мұнда қайта жаңарту ядросы ковариациялық функциямен беріледі. Классикалық кригинг тәсілінен айырмашылығы түсіндіруде: сплайн Хилберт кеңістігі құрылымына негізделген ең төмен нормалы интерполяциямен ынталандырылса, кригинг стохастикалық модельге негізделген күтілетін квадраттық болжам қатесімен ынталандырылады. Полиномдық тренд беттерімен кригинг математикалық тұрғыдан жалпыланған ең кіші квадраттар әдісімен полиномдық қисықтарға сәйкестендіруге тең. Кригингті Байес оптимизациясының бір түрі ретінде де қарастыруға болады. Кригинг функциялар бойынша алдын ала таралымнан басталады. Бұл алдын ала таралым Гаусс процесінің түрін қабылдайды: функциядан алынған үлгілер қалыпты таралымға ие болады, мұнда кез келген екі үлгі арасындағы ковариация Гаусс процесінің ковариациялық функциясымен (немесе ядросымен) екі нүктенің кеңістіктік орналасуында бағаланғанда анықталады. Содан кейін әр мәні кеңістіктік орналасумен байланысты мәндер жиынтығы байқалады. Енді жаңа мәнді кез келген жаңа кеңістіктік орналасуда Гаусс алдын ала таралымын әр байқалған мән үшін Гаусс ықтималдық функциясымен біріктіру арқылы болжауға болады. Нәтижесінде алынған кейін таралым да Гаусс таралымы болып табылады, оның орташа және ковариациясы байқалған мәндерден, олардың дисперсиясынан және алдын ала таралымнан туындаған ядролық матрицадан қарапайым түрде есептелуі мүмкін.

Kriging predicts the value of a function at a given point by computing a weighted average of the known values of the function in the neighborhood of the point. The method is closely related to regression analysis. Both theories derive a best linear unbiased estimator based on assumptions on covariances, make use of Gauss–Markov theorem to prove independence of the estimate and error, and use very similar formulae. Even so, they are useful in different frameworks: kriging is made for estimation of a single realization of a random field, while regression models are based on multiple observations of a multivariate data set. The kriging estimation may also be seen as a spline in a reproducing kernel Hilbert space, with the reproducing kernel given by the covariance function. The difference with the classical kriging approach is provided by the interpretation: while the spline is motivated by a minimum norm interpolation based on a Hilbert space structure, kriging is motivated by an expected squared prediction error based on a stochastic model. Kriging with polynomial trend surfaces is mathematically identical to generalized least squares polynomial curve fitting. Kriging can also be understood as a form of Bayesian optimization. Kriging starts with a prior distribution over functions. This prior takes the form of a Gaussian process: samples from a function will be normally distributed, where the covariance between any two samples is the covariance function (or kernel) of the Gaussian process evaluated at the spatial location of two points. A set of values is then observed, each value associated with a spatial location. Now, a new value can be predicted at any new spatial location by combining the Gaussian prior with a Gaussian likelihood function for each of the observed values. The resulting posterior distribution is also Gaussian, with a mean and covariance that can be simply computed from the observed values, their variance, and the kernel matrix derived from the prior.

Қасиеттері

Крайдинг бағалауы бөгде емес: Крайдинг бағалауы нақты өлшенген мәнді сақтайды: (өлшеу қатесі болмаса). Крайдинг бағалауы – шарттар орындалғандағы ең жақсы сызықтық бөгде бағалаушы. Дегенмен (мысалы, Кресси 1993): кез келген әдіс сияқты, егер шарттар орындалмаса, крайдинг нашар нәтиже беруі мүмкін. Жақсырақ сызықты емес және/немесе бөгде әдістер болуы мүмкін. Бұрыс вариограмма қолданылғанда ешқандай қасиетке кепілдік жоқ. Алайда, көбінесе «жақсы» интерполяцияға қол жеткізіледі. Ең жақсысы міндетті түрде жақсы емес: мысалы, егер кеңістіктік тәуелділік болмаса, крайдинг интерполяциясы арифметикалық орташадан артық болмайды. Крайдинг дәлдіктің өлшемін ұсынады. Бірақ бұл өлшем вариограмманың дұрыстығына байланысты.

Компьютерлік эксперименттерді жобалау және талдау

Инженерлік салада тағы бір өте маңызды және қарқынды дамып келе жатқан бағыт – детерминистік компьютерлік симуляциялардың, мысалы, шекті элементтер әдісі (FEM) симуляцияларының нәтижесінде алынатын жауап айнымалыларының интерполяциясы. Бұл жағдайда, кригинг метамодельдеу құралы ретінде қолданылады, яғни жобаланған компьютерлік эксперименттер жиынтығы негізінде құрылған «қара жәшік» модель. Көптеген практикалық инженерлік есептерде, мысалы, металл өңдеу процесін жобалауда, FEM симуляциясының біреуі бірнеше сағатқа, тіпті бірнеше күнге созылуы мүмкін. Сондықтан, шектеулі сандағы компьютерлік симуляцияларды жобалау және орындау тиімдірек, содан кейін кригинг интерполяторын пайдаланып кез келген басқа жобалау нүктесіндегі нәтижені жылдам болжауға болады. Кригинг осылайша, көбінесе оптимизация алгоритмдерінің ішінде іске асырылатын «суррогат» модель ретінде қолданылады.

Тарихи сілтемелер

Агтерберг, Ф. П., Геоматематика, математикалық негіздер және геоғылымдардағы қолданыстары, Elsevier Scientific Publishing Company, Амстердам, 1974. Кресси, Н. А. К., Крайдингтің пайда болу тарихы, Математикалық геология, 22-том, 239–252 беттер, 1990 жыл. Криге, Д. Г., Витватерсрандтағы кейбір кен орындарын бағалауға және оған байланысты мәселелерге статистикалық тәсіл, Витватерсранд университетінің магистрлік диссертациясы, 1951 жыл. Линк, Р. Ф. және Кох, Г. С., Эксперименттік жобалар және трендтік беттік талдау, Геостатистика, коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970. Матерон, Г., "Геостатистиканың қағидалары", Экономикалық геология, 58-том, 1246–1266 беттер, 1963 жыл. Матерон, Г., "Ішкі кездейсоқ функциялар және олардың қолданылуы", Adv. Appl. Prob., 5-том, 439–468 беттер, 1973 жыл. Мерриам, Д. Ф. (редактор), Геостатистика, коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970.