Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Дискретная динамическая система
Discrete time dynamical system
В математике карта Хенона, иногда называемая аттрактором/картой Хенона — Пумео, является дискретной динамической системой. Это один из наиболее изученных примеров динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Карта Хенона отображает точку (xn, yn) на плоскости в новую точку.
In mathematics, the Hénon map, sometimes called Hénon–Pomeau attractor/map, is a discrete time dynamical system. It is one of the most studied examples of dynamical systems that exhibit chaotic behavior. The Hénon map takes a point (xn, yn) in the plane and maps it to a new point
Карта зависит от двух параметров, a и b, для классической карты Хенона значения которых равны a = 1.4 и b = 0.3. При классических значениях карта Хенона хаотична. При других значениях a и b карта может быть хаотичной, интермиттирующей или сходиться к периодической орбите. Обзор типа поведения карты при различных значениях параметров можно получить из её диаграммы орбит. Карта была предложена Мишелем Хеноном как упрощённая модель сечения Пуанкаре модели Лоренца. Для классической карты начальная точка на плоскости либо стремится к множеству точек, известному как странный аттрактор Хенона, либо расходится в бесконечность. Аттрактор Хенона является фракталом, гладким в одном направлении и множеством Кантора в другом. Численные оценки дают корреляционное измерение 1.21 ± 0.01 или 1.25 ± 0.02 (в зависимости от размерности встраивающего пространства) и измерение счётного покрытия 1.261 ± 0.003 для аттрактора классической карты.
The map depends on two parameters, a and b, which for the classical Hénon map have values of 1=a = 1.4 and 1=b = 0.3. For the classical values the Hénon map is chaotic. For other values of a and b the map may be chaotic, intermittent, or converge to a periodic orbit. An overview of the type of behavior of the map at different parameter values may be obtained from its orbit diagram. The map was introduced by Michel Hénon as a simplified model of the Poincaré section of the Lorenz model. For the classical map, an initial point of the plane will either approach a set of points known as the Hénon strange attractor, or diverge to infinity. The Hénon attractor is a fractal, smooth in one direction and a Cantor set in another. Numerical estimates yield a correlation dimension of 1.21 ± 0.01 or 1.25 ± 0.02 (depending on the dimension of the embedding space) and a Box Counting dimension of 1.261 ± 0.003 for the attractor of the classical map.
Притягатель
Карта Хенона отображает две точки сами в себя: это инвариантные точки. Для классических значений параметров a и b карты Хенона одна из этих точек лежит на аттракторе:
The Hénon map maps two points into themselves: these are the invariant points. For the classical values of a and b of the Hénon map, one of these points is on the attractor:
Эта точка неустойчива. Точки, близкие к этой фиксированной точке и расположенные вдоль прямой с наклоном 1.924, будут приближаться к ней, а точки, расположенные вдоль прямой с наклоном 0.156, будут удаляться от неё. Эти наклоны возникают в результате линеаризации устойчивого и неустойчивого многообразий фиксированной точки. Неустойчивое многообразие фиксированной точки, лежащей на аттракторе, содержится в странном аттракторе карты Хенона. Карта Хенона не имеет странного аттрактора при всех значениях параметров a и b. Например, фиксируя b равным 0.3, диаграмма бифуркации показывает, что при a = 1.25 карта Хенона имеет стабильную периодическую орбиту в качестве аттрактора. Cvitanović и др. показали, как структуру странного аттрактора Хенона можно понять, рассматривая неустойчивые периодические орбиты внутри аттрактора.
This point is unstable. Points close to this fixed point and along the slope 1.924 will approach the fixed point and points along the slope 0.156 will move away from the fixed point. These slopes arise from the linearizations of the stable manifold and unstable manifold of the fixed point. The unstable manifold of the fixed point in the attractor is contained in the strange attractor of the Hénon map. The Hénon map does not have a strange attractor for all values of the parameters a and b. For example, by keeping b fixed at 0.3 the bifurcation diagram shows that for a = 1.25 the Hénon map has a stable periodic orbit as an attractor. Cvitanović et al. have shown how the structure of the Hénon strange attractor can be understood in terms of unstable periodic orbits within the attractor.
Отношение к диаграмме бифуркации
Если построить несколько карт Хенона, изменяя значение b для каждой из них, а затем наложить все эти карты друг на друга, получится диаграмма бифуркации. Эта диаграмма бифуркации складывается подобно тако. Именно поэтому она имеет форму бумеранга при взгляде сверху в 2D.
If multiple Hénon maps are plotted, for each map varying the value of b, then stacking all maps together, a Bifurcation diagram is produced. A Bifurcation diagram that is folded like a taco. Hence its boomerang shape when viewed in 2D from the top.
Одномерное разложение
Карту Хенона также можно разложить на одномерное отображение, определяемое аналогично последовательности Фибоначчи.
The Hénon map may also be deconstructed into a one dimensional map, defined similarly to the Fibonacci Sequence.
Четырехмерное расширение
Хотя карту Хенона можно построить на осях x и y, изменяя значения a и b, мы получаем два дополнительных измерения для построения. Таким образом, карту Хенона можно представить в четырехмерном пространстве. Мы можем визуализировать такое представление, рассматривая поочередно одну гиперплоскость (то есть один куб пространства), отображающую три оси, и затем перемещаясь вдоль четвертой оси по мере течения времени. В видеопримере справа три оси для каждого кадра видео – это x, y и b. По мере течения времени перемещается ось a.
Although the Hénon map can be plotted on the x and y axes, by varying a and b, we obtain two additional dimensions for plotting. The Hénon map therefore, can be plotted in four dimensional space. We can visualize such a plot by viewing one hyperplane (i. e. one cube of space) at a time representing three axes, then moving along the fourth axis as time passes. In the video example to the right, the three axes for each image in the video are x, y, and b. As time passes, it is the a axis that is moved through.
История
В 1976 году во Франции физик Ив Помео анализирует аттрактор Лоренца, выполняя серию численных расчетов совместно с Дж. Л. Ибанесом. Этот анализ является своего рода дополнением к работе Руэлля (и Лэнфорда), представленной в 1975 году. Их интересует именно аттрактор Лоренца, то есть соответствующий исходным дифференциальным уравнениям, и его геометрическая структура. Помео и Ибанес объединяют свои численные расчеты с результатами математического анализа, основанного на использовании сечений Пуанкаре. Растяжение, складывание и чувствительность к начальным условиям естественно возникают в этом контексте применительно к аттрактору Лоренца. Хотя анализ в конечном итоге носит математический характер, Помео и Ибанес в определенной степени придерживаются физического подхода, проводя численные эксперименты с системой Лоренца. Эти эксперименты открывают два направления исследований. Они позволяют выявить особенное поведение системы Лоренца: происходит переход, характеризующийся критическим значением параметров системы, при котором система переходит от странного аттрактора к конфигурации в виде предельного цикла. Значимость этого перехода будет раскрыта самим Помео (и его коллегой Полом Манневиллем) посредством «сценария» прерывистой динамики, предложенного в 1979 году. Второе направление, предложенное Помео и Ибанесом, – это идея создания динамических систем, еще более простых, чем система Лоренца, но обладающих схожими характеристиками, что позволило бы более наглядно подтвердить результаты, полученные численными расчетами. Поскольку рассуждения основаны на сечении Пуанкаре, Помео предлагает построить отображение плоскости на себя, а не дифференциальное уравнение, имитирующее поведение системы Лоренца и ее странного аттрактора. Он создает такое отображение специально, чтобы лучше обосновать свои выводы. В январе 1976 года Помео представил свою работу на семинаре в Обсерватории Лазурного берега, в котором участвовал Мишель Энон. Мишель Энон использует предложение Помео для получения простой системы со странным аттрактором.
In 1976 France, the Lorenz attractor is analyzed by the physicist Yves Pomeau who performs a series of numerical calculations with J. L. Ibanez. The analysis produces a kind of complement to the work of Ruelle (and Lanford) presented in 1975. It is the Lorenz attractor, that is to say, the one corresponding to the original differential equations, and its geometric structure that interest them. Pomeau and Ibanez combine their numerical calculations with the results of mathematical analysis, based on the use of Poincaré sections. Stretching, folding, sensitivity to initial conditions are naturally brought in this context in connection with the Lorenz attractor. If the analysis is ultimately very mathematical, Pomeau and Ibanez follow, in a sense, a physicist approach, experimenting with the Lorenz system numerically. Two openings are brought specifically by these experiences. They make it possible to highlight a singular behavior of the Lorenz system: there is a transition, characterized by a critical value of the parameters of the system, for which the system switches from a strange attractor position to a configuration in a limit cycle. The importance will be revealed by Pomeau himself (and a collaborator, Paul Manneville) through the "scenario" of Intermittency, proposed in 1979. The second path suggested by Pomeau and Ibanez is the idea of realizing dynamical systems even simpler than that of Lorenz, but having similar characteristics, and which would make it possible to prove more clearly "evidences" brought to light by numerical calculations. Since the reasoning is based on Poincaré's section, he proposes to produce an application of the plane in itself, rather than a differential equation, imitating the behavior of Lorenz and its strange attractor. He builds one in an ad hoc manner which allows him to better base his reasoning. In January 1976, Pomeau presented his work during a seminar given at the Côte d'Azur Observatory, attended by Michel Hénon. Michel Hénon uses Pomeau’s suggestion to obtain a simple system with a strange attractor.
Режимы Koopman
В динамической системе оператор Купмана — это естественный линейный оператор в пространстве скалярных полей. Для общих нелинейных систем собственные функции этого оператора нельзя представить в удобной аналитической форме. Вместо этого их необходимо вычислять численно. Эти моды могут дать представление о символической динамике хаотических отображений, таких как отображение Генона. В представленном режиме четко виден стабильный многообразие странного аттрактора.
In dynamical system, the Koopman operator is a natural linear operator on the space of scalar fields. For general nonlinear systems, the eigenfunctions of this operator cannot be expressed in any nice form. Instead one must compute them numerically. These modes can give insight into the symbolic dynamics of chaotic maps like the Hénon map. In the mode provided, the stable manifold of the strange attractor can be clearly seen.
Обобщения
3D-обобщение карты Хенона было предложено Хитцем и Зеле. Оно задается формулами
A 3 D generalization for the Hénon map was proposed by Hitz and Zele. It is given by
Для и можно показать, что почти все начальные условия внутри единичной сферы генерируют хаотические сигналы с максимальным показателем Ляпунова .
For and it can be shown that almost all initial conditions inside the unit sphere generate chaotic signals with largest Lyapunov exponent .