Странные петли: иерархии, сознание и самореференция.

Введение

Циклическая структура, проходящая через несколько уровней в иерархической системе.

Странная петля – это циклическая структура, проходящая через несколько уровней в иерархической системе. Она возникает, когда, перемещаясь только вверх или вниз по системе, можно вернуться к исходной точке. Странные петли могут включать самоссылки и парадоксы. Концепция странной петли была предложена и подробно рассмотрена Дугласом Хофштадтером в книге «Гёдель, Эшер, Бах» и далее развита в книге Хофштадтера «Я – странная петля», опубликованной в 2007 году. Запутанная иерархия – это иерархическая система сознания, в которой возникает странная петля.

В когнитивной науке

Согласно Хофштадтеру, странные петли формируются в человеческом сознании, поскольку сложность активных символов в мозге неизбежно приводит к тому же типу самоотсылки, который Гёдель доказал как присущий любой достаточно сложной логической или арифметической системе (допускающей арифметику посредством аксиом Пеано) в своей теореме о неполноте. Гёдель показал, что математика и логика содержат странные петли: утверждения, которые отсылают не только к математическим и логическим истинам, но и к системам символов, выражающим эти истины. Это приводит к подобным парадоксам, как в утверждении "Это утверждение ложно", где основа истинности предложения заключается в отсылке к самому себе и своему содержанию, вызывая логический парадокс. Хофштадтер утверждает, что психологическое "я" возникает из сходного рода парадокса. Мы не рождаемся с "Я" – эго возникает лишь постепенно, по мере того как опыт формирует нашу плотную сеть активных символов в ткань, достаточно богатую и сложную, чтобы начать возвращаться к самой себе. С этой точки зрения, психологическое "Я" – это нарративная фикция, нечто, созданное исключительно из восприятия символических данных и собственной способности создавать истории о себе на основе этих данных. Следствием этого является то, что перспектива (разум) – это кульминация уникального паттерна символической активности в нашей нервной системе, что позволяет предположить, что паттерн символической активности, формирующий идентичность и составляющий субъективность, может быть воспроизведен в мозге других людей и, возможно, даже в искусственном мозге.

Причинность снижения

Хофстадтер считает, что наш разум склонен воспринимать себя как определяющий мир посредством "причинности сверху вниз", что означает ситуацию, когда причинно-следственная связь в системе инвертируется. Хофстадтер утверждает, что это происходит в доказательстве теоремы Гёделя о неполноте:
достаточно знать значение формулы, чтобы сделать вывод о её истинности или ложности, не прибегая к традиционному выводу, требующему методичного "восхождения" от аксиом. Это не просто странно, это поразительно. Обычно нельзя, просто взглянув на математическое утверждение, опираться исключительно на его содержание, чтобы определить, истинно оно или ложно. (стр. 169–170)
Хофстадтер полагает, что подобное "переворачивание причинности" происходит в разуме, обладающем самосознанием. Разум воспринимает себя как причину определенных чувств ("Я" – источник моих желаний), в то время как, согласно распространенным научным моделям, чувства и желания строго обусловлены взаимодействием нейронов. Теодор Нену (2022) исследует параллели между причинностью сверху вниз в формальных системах и причинностью сверху вниз в мозге, а также другие аспекты метафизики сознания Хофстадтера. Нену также ставит под вопрос корректность вышеприведенной цитаты, фокусируясь на предложении, которое "говорит о себе", что оно доказуемо (также известное как предложение Хенкина, названное в честь логика Леона Хенкина). Оказывается, при подходящем метаматематическом выборе (когда условия доказуемости Гильберта и Бернайса не выполняются), можно построить формально неразрешимые (или даже формально опровержимые) предложения Хенкина для рассматриваемой арифметической системы. Эта система вполне может быть типографической теорией чисел Хофстадтера, используемой в "Гёделе, Эшере, Бахе", или более знакомой арифметикой Пеано, или какой-либо другой достаточно богатой формальной арифметикой. Таким образом, существуют примеры предложений, "которые говорят о себе, что они доказуемы", но они не демонстрируют того рода причинных сил сверху вниз, которые описаны в приведенной цитате.

Hofstadter thinks our minds appear to us to determine the world by way of "downward causality", which refers to a situation where a cause and effect relationship in a system gets flipped upside down. Hofstadter says this happens in the proof of Gödel's incompleteness theorem:
Merely from knowing the formula's meaning, one can infer its truth or falsity without any effort to derive it in the old fashioned way, which requires one to trudge methodically "upwards" from the axioms. This is not just peculiar; it is astonishing. Normally, one cannot merely look at what a mathematical conjecture says and simply appeal to the content of that statement on its own to deduce whether the statement is true or false. (pp. 169–170)
Hofstadter claims a similar "flipping around of causality" appears to happen in minds possessing self consciousness. The mind perceives itself as the cause of certain feelings ("I" am the source of my desires), while according to popular scientific models, feelings and desires are strictly caused by the interactions of neurons. The parallels between downward causation in formal systems and downward causation in brains are explored by Theodor Nenu (2022), together with other aspects of Hofstadter's metaphysics of mind. Nenu also questions the correctness of the above quote by focusing on the sentence which "says about itself" that it is provable (also known as a Henkin sentence, named after logician Leon Henkin). It turns out that under suitable metamathematical choices (where the Hilbert Bernays provability conditions do not obtain), one can construct formally undecidable (or even formally refutable) Henkin sentences for the arithmetical system under investigation. This system might very well be Hofstadter's Typographical Number Theory used in Gödel, Escher, Bach or the more familiar Peano Arithmetic or some other sufficiently rich formal arithmetic. Thus, there are examples of sentences "which say about themselves that they are provable", but they don't exhibit the sort of downward causal powers described in the displayed quote.

Примеры

Хофштадтер указывает на «Канон Баха по тону», рисунки М. К. Эшера «Водопад», «Рисующие руки», «Восхождение и нисхождение» и парадокс лжеца как примеры, иллюстрирующие идею странных петель, которая полностью выражена в доказательстве теоремы о неполноте Гёделя. Парадокс «что было раньше – курица или яйцо» – пожалуй, самая известная проблема, связанная со странными петлями. «Уроборос», изображающий дракона, поедающего свой собственный хвост, является, возможно, одним из самых древних и универсальных символических представлений концепции рефлексивной петли. Тон Шепарда – еще один наглядный пример странной петли. Названный в честь Роджера Шепарда, он представляет собой звук, состоящий из суперпозиции тонов, разделенных октавами. При воспроизведении с изменением базовой частоты вверх или вниз он называется шкалой Шепарда. Это создает слуховую иллюзию непрерывно повышающейся или понижающейся частоты, при этом звук, кажется, не становится выше или ниже. Аналогичным образом можно создать звук с, казалось бы, постоянно возрастающим темпом, что было продемонстрировано Жаном-Клодом Риссе. Визуальные иллюзии, изображающие странные петли, включают лестницу Пенроуза и иллюзию «барберпол». Куин в программировании – это программа, которая генерирует новую версию самой себя без внешнего ввода. Схожей концепцией является метаморфический код. Кости Эфрона – это четыре кости, демонстрирующие непереходность предпочтений при игре. То есть, кости упорядочены как A > B > C > D > A, где x > y означает «игрок предпочитает x ко y». Индивидуальные предпочтения всегда транзитивны, за исключением случаев, когда заданы явные правила, как в случае с костями Эфрона или игрой «камень, ножницы, бумага»; однако, совокупные предпочтения группы могут быть не транзитивны. Это может привести к парадоксу Кондорсе, при котором, следуя по цепочке предпочтений большинства от одного кандидата к другому, можно вернуться к исходному кандидату, не выявив четкого предпочтения группы. В этом случае один кандидат побеждает оппонента, который, в свою очередь, побеждает другого, и так далее, пока не будет достигнут кандидат, побеждающий исходного. Парадокс лжеца и парадокс Рассела также включают в себя странные петли, как и картина Рене Магритта «Вероломство образов». Математическое явление полисемии наблюдается как странная петля. На денотативном уровне термин относится к ситуациям, когда одна сущность может означать несколько математических объектов. См. Tanenbaum (1999). «Каменщик» – старая японская сказка, в которой социальная и естественная иерархия объясняется как странная петля.

Hofstadter points to Bach's Canon per Tonos, M. C. Escher's drawings Waterfall, Drawing Hands, Ascending and Descending, and the liar paradox as examples that illustrate the idea of strange loops, which is expressed fully in the proof of Gödel's incompleteness theorem. The "chicken or the egg" paradox is perhaps the best known strange loop problem. The "ouroboros", which depicts a dragon eating its own tail, is perhaps one of the most ancient and universal symbolic representations of the reflexive loop concept. A Shepard tone is another illustrative example of a strange loop. Named after Roger Shepard, it is a sound consisting of a superposition of tones separated by octaves. When played with the base pitch of the tone moving upwards or downwards, it is referred to as the Shepard scale. This creates the auditory illusion of a tone that continually ascends or descends in pitch, yet which ultimately seems to get no higher or lower. In a similar way a sound with seemingly ever increasing tempo can be constructed, as was demonstrated by Jean Claude Risset. Visual illusions depicting strange loops include the Penrose stairs and the Barberpole illusion. A quine in software programming is a program that produces a new version of itself without any input from the outside. A similar concept is metamorphic code. Efron's dice are four dice that are intransitive under gambler's preference. I. e., the dice are ordered A > B > C > D > A, where x > y means "a gambler prefers x to y". Individual preferences are always transitive, excluding preferences when given explicit rules such as in Efron's dice or rock paper scissors; however, aggregate preferences of a group may be intransitive. This can result in a Condorcet paradox wherein following a path from one candidate across a series of majority preferences may return back to the original candidate, leaving no clear preference by the group. In this case, some candidate beats an opponent, who in turn beats another opponent, and so forth, until a candidate is reached who beats the original candidate. The liar paradox and Russell's paradox also involve strange loops, as does René Magritte's painting The Treachery of Images. The mathematical phenomenon of polysemy has been observed to be a strange loop. At the denotational level, the term refers to situations where a single entity can be seen to mean more than one mathematical object. See Tanenbaum (1999). The Stonecutter is an old Japanese fairy tale with a story that explains social and natural hierarchies as a strange loop.