Введение
Свойство числа
В математике устойчивость числа — это количество применений заданной операции к целому числу, необходимых для достижения фиксированной точки, в которой операция перестает изменять число. Обычно рассматривается аддитивная или мультипликативная устойчивость неотрицательного целого числа, то есть, сколько раз нужно заменять число суммой или произведением его цифр, пока не получится однозначное число. Поскольку числа раскладываются на цифры, аддитивная или мультипликативная устойчивость зависит от системы счисления. В дальнейшем в статье подразумевается десятичная система счисления. Однозначное число, полученное в результате последовательного применения операции, является цифровым корнем числа. Иными словами, аддитивная устойчивость числа показывает, сколько раз необходимо суммировать его цифры, чтобы получить цифровой корень.
In mathematics, the persistence of a number is the number of times one must apply a given operation to an integer before reaching a fixed point at which the operation no longer alters the number. Usually, this involves additive or multiplicative persistence of a non negative integer, which is how often one has to replace the number by the sum or product of its digits until one reaches a single digit. Because the numbers are broken down into their digits, the additive or multiplicative persistence depends on the radix. In the remainder of this article, base ten is assumed. The single digit final state reached in the process of calculating an integer's additive persistence is its digital root. Put another way, a number's additive persistence counts how many times we must sum its digits to arrive at its digital root.
Примеры
Адитивная устойчивость числа 2718 равна 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, а затем, что 1 + 8 = 9. Умножительная устойчивость числа 39 равна 3, поскольку требуется три шага, чтобы привести 39 к однозначному числу: 39 → 27 → 14 → 4. Также 39 — наименьшее число с умножительной устойчивостью 3.
Наименьшие числа заданной умножающей стойкости
В системе счисления с основанием 10 считается, что не существует числа с мультипликативной устойчивостью больше 11: это подтверждено для чисел до 1 020 000. Наименьшие числа с устойчивостью 0, 1, 2 – это: 0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. Поиск этих чисел можно ускорить, используя дополнительные свойства десятичных цифр этих рекордных чисел. Эти цифры должны располагаться в порядке неубывания (за исключением второго числа, 10), и – за исключением первых двух цифр – все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. Благодаря этим ограничениям количество кандидатов для n-значных чисел с рекордной устойчивостью пропорционально лишь квадрату n, что составляет очень малую долю всех возможных n-значных чисел. Однако любое число, отсутствующее в указанной выше последовательности, будет иметь мультипликативную устойчивость больше 11; считается, что таких чисел не существует, и если они все же существуют, то должны содержать более 20 000 цифр.
0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. The search for these numbers can be sped up by using additional properties of the decimal digits of these record breaking numbers. These digits must be in increasing order (with the exception of the second number, 10), and – except for the first two digits – all digits must be 7, 8, or 9. There are also additional restrictions on the first two digits. Based on these restrictions, the number of candidates for n digit numbers with record breaking persistence is only proportional to the square of n, a tiny fraction of all possible n digit numbers. However, any number that is missing from the sequence above would have multiplicative persistence > 11; such numbers are believed not to exist, and would need to have over 20,000 digits if they do exist.
Свойства стойкости добавки
Аддитивная стойкость числа меньше или равна самому числу, и равенство достигается только при числе, равном нулю. Для чисел в системе счисления *b* и натуральных чисел *n* и *m* числа *n* и *m* имеют одинаковую аддитивную стойкость. Более подробную информацию об аддитивной стойкости числа можно найти здесь.
Наименьшее количество данной стойкости добавки
Однако аддитивная устойчивость числа может становиться произвольно большой (доказательство: для данного числа *n*, устойчивость числа, состоящего из *n* повторений цифры 1, на 1 выше, чем у *n*). Наименьшие числа аддитивной устойчивости 0, 1, 2, … — это: 0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999. Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной устойчивости 5) равно 2 × 10² × (10²² − 1) / 9 − 1 (то есть 1, за которым следуют 2222222222222222222222 9). Для любого фиксированного основания сумма цифр числа не превышает величину, пропорциональную его логарифму; следовательно, аддитивная устойчивость не превышает величину, пропорциональную итерированному логарифму, и наименьшее число заданной аддитивной устойчивости растет тетрационально.
0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999,
The next number in the sequence (the smallest number of additive persistence 5) is 2 × 102×(1022 − 1)/9 − 1 (that is, 1 followed by 2222222222222222222222 9's). For any fixed base, the sum of the digits of a number is at most proportional to its logarithm; therefore, the additive persistence is at most proportional to the iterated logarithm, and the smallest number of a given additive persistence grows tetrationally.
Функции с ограниченной продолжительностью
Некоторые функции допускают сохранение только до определенной степени. Например, функция, находящая минимальную цифру, допускает только устойчивость 0 или 1, так как вы либо начинаете с однозначного числа, либо приходите к нему.