Введение

Пара целых чисел, связанных своими делителями.

Дружественные числа — это два различных натуральных числа, связанных между собой таким образом, что сумма собственных делителей каждого из них равна другому числу. То есть, s(a) = b и s(b) = a, где s(n) = σ(n) – n равна сумме положительных делителей n, исключая само n (см. также функция делителей). Самая маленькая пара дружественных чисел — (220, 284). Они дружественны, потому что собственные делители 220 — это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма которых равна 284; а собственные делители 284 — это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220. (Собственный делитель числа — это положительный фактор этого числа, отличный от самого числа. Например, собственные делители 6 — 1, 2 и 3.) Первые десять дружественных пар: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) и (66928, 66992). (См. также и ). Неизвестно, существует ли бесконечно много пар дружественных чисел. Пара дружественных чисел составляет аликвотную последовательность периода 2. Связанное с этим понятие — это понятие совершенного числа, которое равно сумме своих собственных делителей, другими словами, число, которое образует аликвотную последовательность периода 1. Числа, являющиеся членами аликвотной последовательности с периодом больше 2, известны как общительные числа.

Правила производства

Хотя эти правила и порождают некоторые пары дружественных чисел, известно гораздо больше других пар, поэтому эти правила далеко не исчерпывающие. В частности, два правила, приведенные ниже, генерируют только четные дружественные пары, и поэтому не представляют интереса для нерешенной задачи поиска дружественных пар, взаимно простых с 210 = 2·3·5·7, в то время как известно более 1000 пар, взаимно простых с 30 = 2·3·5 [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Теорема Табит ибн Курра

Теорема Табита ибн Курры — это метод поиска дружественных чисел, изобретённый в IX веке арабским математиком Табитом ибн Куррой.

Правило Эйлера

Правило Эйлера является обобщением теоремы Табита ибн Курры. Оно утверждает, что если

где n > m > 0 – целые числа, а p, q, r – простые числа, то 2^(n) × p × q и 2^(n) × r образуют пару дружественных чисел. Теорема Табита ибн Курры соответствует частному случаю, а правило Эйлера создает дополнительные пары дружественных чисел, других не найдено. Эйлер (1747 и 1750) в общей сложности обнаружил 58 новых пар, увеличив общее известное количество пар до 61.

Регулярные пары

Пусть (m, n) — пара дружественных чисел с m < n, и представим их в виде и , где g — наибольший общий делитель m и n. Если M и N взаимно просты с g и не содержат квадратных множителей, то пара (m, n) называется регулярной; в противном случае она называется нерегулярной или экзотической. Если (m, n) — регулярная пара, а M и N имеют i и j простых множителей соответственно, то (m, n) называется парой типа (i, j). Например, для пары (220, 284) наибольший общий делитель равен 4, следовательно, и . Таким образом, (220, 284) является регулярной парой типа (2, 1).

Двойняшки-друзья

Дружественная пара (m, n) называется двойней, если между m и n нет целых чисел, входящих в состав какой-либо другой дружественной пары.

Другие результаты

В каждом известном случае числа в паре либо оба чётные, либо оба нечётные. Неизвестно, существует ли пара дружественных чисел, состоящая из чётного и нечётного числа, но если такая пара существует, то чётное число должно быть либо квадратом числа, либо удвоенным квадратом, а нечётное число должно быть квадратом числа. Однако существуют дружественные числа, у которых два члена имеют разные наименьшие простые делители: известно семь таких пар. Кроме того, каждая известная пара имеет хотя бы один общий простой делитель. Неизвестно, существует ли пара взаимно простых дружественных чисел, хотя если такая пара существует, то произведение этих двух чисел должно быть больше 1067. Также пара взаимно простых дружественных чисел не может быть получена по формуле Табита (выше) или какой-либо аналогичной формуле. В 1955 году Пол Эрдеш доказал, что плотность дружественных чисел относительно положительных целых чисел равна 0. В 1968 году Мартин Гарднер отметил, что большинство известных к тому времени чётных дружественных пар имеют суммы, делящиеся на 9, и было получено правило для определения исключений. Согласно гипотезе о сумме дружественных пар, при стремлении количества дружественных чисел к бесконечности процент сумм дружественных пар, делящихся на десять, стремится к 100%. Хотя все дружественные пары, известные до 10 000, являются чётными, доля нечётных дружественных пар постоянно увеличивается с ростом чисел, и, вероятно, их больше, чем чётных дружественных пар (A360054 в OEIS). Существуют гауссовы дружественные пары.

Дружественные тупли

Дружественные числа удовлетворяют условию , и их можно записать вместе как . Это можно обобщить на более крупные кортежи, например, , где требуется

Например, (1980, 2016, 2556) является дружественной тройкой, а (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) – дружественной четвёркой. Дружественные мультимножества определяются аналогичным образом и обобщают это понятие ещё дальше.

Общественные числа

Социальные числа — это числа в циклических списках чисел (длиной более 2), где каждое число является суммой собственных делителей предыдущего числа. Например, 12496, 14288, 15472, 14536 — социальные числа порядка 4.

Ссылки в популярной культуре

Дружественные числа фигурируют в романе Ёко Огавы «Домохозяйка и профессор» и в японском фильме, снятом по его мотивам. В сборнике рассказов Пола Остера под названием «Правдивые истории из американской жизни» есть рассказ («Математический афродизиак» Алекса Галта), в котором дружественные числа играют важную роль. Дружественные числа кратко упоминаются в романе Реджинальда Хилла «Дом незнакомцев». Дружественные числа упоминаются во французском романе Дениса Геджа «Теорема попугая». Дружественные числа упоминаются в JRPG Persona 4 Golden. Дружественные числа фигурируют в визуальной новелле Rewrite. Дружественные числа (220, 284) упоминаются в 13-м эпизоде корейской дорамы 2017 года «Andante». Дружественные числа фигурируют в греческом фильме «Другое я» (2016). Обсуждение дружественных чисел можно найти в книге Брайана Клегга «Реальны ли числа?». Дружественные числа упоминаются в романе 2020 года «Апейрогон» Колума МакКанна.