Введение

В математической морфологии, открытие – это дилатация эрозии множества А структурным элементом В:

где и обозначают соответственно эрозию и дилатацию. Вместе с закрытием, открытие является базовым инструментом для удаления морфологического шума в компьютерном зрении и обработке изображений. Открытие удаляет небольшие объекты с переднего плана (обычно рассматриваемые как светлые пиксели) изображения, перемещая их на задний план, в то время как закрытие удаляет небольшие отверстия в переднем плане, превращая небольшие области фона в передний план. Эти методы также могут использоваться для поиска определенных форм в изображении. Открытие можно использовать для поиска областей, в которые может поместиться конкретный структурный элемент (границы, углы и т.д.). Можно представить, что B очерчивает внутреннюю границу A, не выходя за её пределы, и формирует границу A вокруг границы элемента.

Свойства

Открытие является идемпотентным, то есть, операция открытия возрастает, то есть, если , то . Открытие является антиэкстенсивным, то есть, открытие инвариантно относительно сдвига. Открытие и закрытие удовлетворяют свойству двойственности, где обозначает закрытие.

Расширение: открытие путем реконструкции

При морфологическом открытии операция эрозии удаляет объекты, меньшие структурного элемента B, а операция дилатации (приблизительно) восстанавливает размер и форму оставшихся объектов. Однако точность восстановления при дилатации сильно зависит от типа структурного элемента и формы восстанавливаемых объектов. Открытие методом реконструкции способно более полно восстановить объекты после применения эрозии. Оно определяется как реконструкция с помощью геодезической дилатации эрозии по отношению к :

где обозначает изображение-маркер, а – изображение-маску в морфологической реконструкции дилатацией. обозначает геодезическую дилатацию с итерациями до достижения стабильности, то есть такое, что, поскольку , изображение-маркер ограничено областью роста изображением-маской, поэтому операция дилатации на изображении-маркере не выходит за пределы изображения-маски. В результате изображение-маркер является подмножеством изображения-маски (строго говоря, это верно только для бинарных масок, однако аналогичные утверждения применимы и для небинарных масок). Ниже приведен простой пример открытия с помощью реконструкции, который извлекает вертикальные штрихи из входного текстового изображения. Поскольку исходное изображение преобразовано из градации серого в бинарное, в некоторых символах присутствуют искажения, из-за чего одни и те же символы могут иметь разную вертикальную длину. В этом случае структурным элементом является вертикальная линия из 8 пикселей, которая применяется в операции эрозии для поиска интересующих объектов. Кроме того, морфологическая реконструкция дилатацией выполняется раз, пока результирующее изображение не сойдется.