Введение
Численный метод, используемый для приближенного решения уравнений с одной переменной.
В математике метод ложного положения, или метод фальшпозиций – очень старый метод решения уравнения с одним неизвестным; этот метод, в модифицированной форме, до сих пор применяется. Говоря простым языком, метод представляет собой метод проб и ошибок, использующий пробные ("ложные") значения для переменной и последующую корректировку пробного значения в зависимости от результата. Это также иногда называют методом "подбора и проверки". Различные варианты метода появились задолго до возникновения алгебры и использования уравнений. В качестве примера рассмотрим задачу 26 из папируса Ринда, которая требует решения (в современной записи) уравнения 1=x + x/4 = 15. Оно решается методом ложного положения. Сначала предположим, что 1=x = 4, тогда слева получим 1=4 + 4/4 = 5. Это хорошее предположение, поскольку оно дает целое число. Однако 4 не является решением исходного уравнения, так как дает значение, которое в три раза меньше требуемого. Чтобы компенсировать это, умножим x (в настоящее время равный 4) на 3 и подставим снова, получив 1=12 + 12/4 = 15, что подтверждает, что решение 1=x = 12. Современные варианты метода используют систематические способы выбора новых пробных значений и рассматривают вопросы о том, возможно ли получить приближение к решению, и если да, то насколько быстро можно найти это приближение.
Улучшение правил
Хотя метод ложной позиции всегда сходится, обычно значительно быстрее, чем метод бисекции, существуют ситуации, которые могут замедлить его сходимость – иногда до неприемлемого уровня. Эта проблема не уникальна для метода ложной позиции: кроме метода бисекции, все численные методы решения уравнений могут испытывать медленную сходимость или вовсе не сходиться при определенных условиях. Иногда метод Ньютона и метод секущих расходятся вместо сходимости – и часто это происходит при тех же условиях, которые замедляют сходимость метода ложной позиции. Однако, несмотря на то, что метод ложной позиции является одним из лучших, и даже в своей первоначальной, неулучшенной версии часто оказывается оптимальным выбором; например, когда метод Ньютона не используется из-за чрезмерной трудоемкости вычисления производной, или когда метод Ньютона и метод последовательных подстановок не сходятся. Режим сбоя метода ложной позиции легко обнаружить: одна и та же конечная точка сохраняется дважды подряд. Проблему легко устранить, выбрав вместо этого модифицированную ложную позицию, подобранную для избежания замедлений, вызванных этими относительно редкими неблагоприятными ситуациями. Предложено несколько улучшений метода ложной позиции; два из них – алгоритм Иллинойса и алгоритм Андерсона — Бьёрка – описаны ниже.
Практические соображения
При решении одного уравнения или нескольких с помощью компьютера метод бисекции является адекватным выбором. Хотя бисекция не так быстра, как другие методы, когда они работают оптимально и не сталкиваются с проблемами, она тем не менее гарантированно сходится с полезной скоростью, примерно уменьшая ошибку вдвое с каждой итерацией – получая примерно одно десятичное место точности каждые три итерации. Для ручных вычислений, с использованием калькулятора, обычно предпочитают более быстрые методы, и они, как правило, но не всегда, сходятся быстрее, чем бисекция. Однако компьютер, даже используя метод бисекции, решает уравнение с необходимой точностью настолько быстро, что нет необходимости пытаться сэкономить время, прибегая к менее надежному методу – а любой другой метод менее надежен, чем бисекция. Исключением может быть ситуация, когда компьютерной программе требуется многократно решать уравнения в процессе работы. В этом случае время, сэкономленное более быстрыми методами, может оказаться существенным. Тогда программа может начать с метода Ньютона, и, если он не сходится, переключиться на метод ложного положения (regula falsi), возможно, на одну из его улучшенных версий, таких как методы Иллинойса или Андерсона — Бьёрка. Или, если даже это не сходится так же хорошо, как бисекция, переключиться на бисекцию, которая всегда сходится с полезной, хотя и не выдающейся, скоростью. Когда изменение значения y становится очень малым, и x также меняется незначительно, метод Ньютона, скорее всего, не столкнется с трудностями и сойдется. Таким образом, при таких благоприятных условиях можно переключиться на метод Ньютона, если требуется очень высокая точность и очень быстрая сходимость.