Введение
Термин в комбинаторной теории игр – понятие из комбинаторной теории игр. В комбинаторной теории игр звезда, записываемая как * или **, является значением, присваиваемым игре, в которой у обоих игроков есть только возможность перейти в нулевую игру. Звезда также может быть обозначена как сюрреалистическая форма {0|0}. Эта игра представляет собой безусловную победу первого игрока. Звезда, как определил Джон Конвей в книге «Winning Ways for your Mathematical Plays», является значением, но не числом в традиционном смысле. Звезда не равна нулю, но и не является ни положительной, ни отрицательной, поэтому считается неопределённой и отождествляется с (четвертой альтернативой, означающей не «меньше», не «равно» и не «больше») 0. Она меньше всех положительных рациональных чисел и больше всех отрицательных рациональных чисел. Игры, отличные от {0|0}, могут иметь значение *. Например, игра , где значения – числа ним, имеет значение * несмотря на то, что у каждого игрока есть больше ходов, чем просто переход в 0.
the concept from combinatorial game theory
In combinatorial game theory, star, written as or , is the value given to the game where both players have only the option of moving to the zero game. Star may also be denoted as the surreal form {0|0}. This game is an unconditional first player win. Star, as defined by John Conway in Winning Ways for your Mathematical Plays, is a value, but not a number in the traditional sense. Star is not zero, but neither positive nor negative, and is therefore said to be fuzzy and confused with (a fourth alternative that means neither "less than", "equal to", nor "greater than") 0. It is less than all positive rational numbers, and greater than all negative rationals. Games other than {0 | 0} may have value *. For example, the game , where the values are nimbers, has value * despite each player having more options than simply moving to 0.
Почему * ≠ 0
В комбинаторной игре есть игрок, ходящий первым, и игрок, ходящий вторым; не уточняется, кто из них ходит первым. Комбинаторная игра 0, или { | }, не предоставляет ходов и является выигрышной для второго игрока. Аналогично, комбинаторная игра выигрывается (при условии оптимальной игры) вторым игроком тогда и только тогда, когда её значение равно 0. Следовательно, игра со значением *, которая является выигрышной для первого игрока, не является ни положительной, ни отрицательной. Однако * – не единственное возможное значение для выигрышной для первого игрока игры (см. нимберы). Звезда обладает свойством, что сумма * + * равна 0, поскольку единственный ход первого игрока – это переход к игре *, в которой выиграет второй игрок.
Пример игры на основе ценности
Ним, с одной кучей и одной фигурой, имеет значение *. Первый игрок забирает фигуру, а второй проигрывает. Игра в Ним с одной кучей из n фигур (также победа первого игрока) определяется как имеющая значение *n. Числа *z для целых чисел z образуют бесконечное поле характеристики 2, где сложение определяется в контексте комбинаторных игр, а умножение имеет более сложное определение.