Введение

Элемент ≥ (или ≤) каждый другой элемент. В математике, особенно в теории порядка, наибольший элемент подмножества частично упорядоченного множества (посета) — это элемент, который больше любого другого элемента этого подмножества. Термин наименьший элемент определяется двойственно, то есть это элемент, который меньше любого другого элемента этого подмножества.

Достаточные условия

В конечной цепи всегда существует наибольший и наименьший элемент.

Верхняя и нижняя

Наименьший и наибольший элементы всего частично упорядоченного множества играют особую роль и также называются нижним элементом (⊥) и верхним элементом (⊤), или нулем (0) и единицей (1) соответственно. Если оба элемента существуют, то частично упорядоченное множество называется ограниченным. Обозначение 0 и 1 используется предпочтительно, когда множество является дополненной решеткой, и когда нет вероятности путаницы, то есть когда речь не идет о частичных порядках чисел, которые уже содержат элементы 0 и 1, отличные от нижнего и верхнего элементов. Существование наименьшего и наибольшего элементов является особым свойством полноты частичного порядка. Дополнительная вводная информация содержится в статье о теории порядка.

Примеры

Подмножество целых чисел не имеет верхней границы в множестве действительных чисел. Пусть отношение на задано выражением . Множество имеет верхние границы и , но не имеет наименьшей верхней границы и наибольшего элемента (см. рисунок). В рациональных числах множество чисел, квадрат которых меньше 2, имеет верхние границы, но не имеет наибольшего элемента и наименьшей верхней границы. В множестве чисел, меньших 1, существует наименьшая верхняя граница, а именно 1, но нет наибольшего элемента. В множестве чисел, меньших или равных 1, есть наибольший элемент, а именно 1, который также является его наименьшей верхней границей. В с порядком произведения множество пар с не имеет верхней границы. В с лексикографическим порядком это множество имеет верхние границы, например, . У него нет наименьшей верхней границы.