Теоремы о пространственной иерархии в теории вычислительной сложности

Введение

И детерминированные, и недетерминированные машины могут решать больше задач, располагая большим объемом памяти. В теории вычислительной сложности теоремы об иерархии пространства являются результатами разделения, которые показывают, что детерминированные и недетерминированные машины могут решать больше задач в (асимптотически) большем объеме памяти при определенных условиях. Например, детерминированная машина Тьюринга может решать больше задач принятия решений, используя пространство n log n, чем используя пространство n. Аналогичные, несколько более слабые теоремы для времени известны как теоремы об иерархии времени. В основе теорем об иерархии лежит интуиция о том, что увеличение времени или объема памяти позволяет вычислять больше функций (или определять больше языков). Теоремы об иерархии используются для демонстрации того, что классы сложности по времени и пространству образуют иерархию, в которой классы с более строгими ограничениями содержат меньше языков, чем классы с более слабыми ограничениями. Здесь мы дадим определение и докажем теорему об иерархии пространства. Теоремы об иерархии пространства опираются на понятие пространственно-конструируемых функций. Детерминированная и недетерминированная теоремы об иерархии пространства утверждают, что для всех пространственно-конструируемых функций f(n) выполняется:

,
где SPACE обозначает либо DSPACE, либо NSPACE, а o относится к нотации "малое о".

Усовершенствование иерархии пространства

Если пространство измеряется как количество используемых ячеек независимо от размера алфавита, то 1=\mathsf{SPACE}(f(n)) = \mathsf{SPACE}(O(f(n))) потому что можно достичь любого линейного сжатия, перейдя на больший алфавит. Однако, измеряя пространство в битах, гораздо более четкое разделение достижимо для детерминированного пространства. Вместо того, чтобы быть определено до множительной постоянной, пространство теперь определено до аддитивной постоянной. Однако, поскольку любое постоянное количество внешнего пространства может быть сохранено путем хранения содержимого во внутреннем состоянии, у нас все еще есть 1=\mathsf{SPACE}{f}{n}=\mathsf{SPACE}{f}{n}+O{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}}{n}}{n}}{n}}{n}}{n}{n}}}{n}}}{n}}{n}}}{n}}}{n}}{n}}}{n}}{n}}{n}}}}{n}}}}}{n}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Предположим, что f - это конструктивное пространство. Пространство детерминировано. Для широкого спектра последовательных вычислительных моделей, в том числе для машин Тьюринга, SPACE ((f) n) ω (log (f) n) + n)) SPACE (f) n)). Это верно даже если SPACE{f}{n}{log}{f}{n}+n))) определяется с использованием другой вычислительной модели, чем \mathsf{SPACE}{f}{n}), потому что разные модели могут имитировать друг друга с O{\log}{f}{n}+n}) пространством над головой. Для определенных вычислительных моделей у нас даже есть SPACE (f) ω (n) 1) SPACE (f) n). В частности, это относится к машинам Тьюринга, если мы фиксируем алфавит, количество голов на входной ленте, количество голов на рабочей ленте (с использованием одной рабочей ленты) и добавляем делимитаторы для посещаемой части рабочей ленты (которые могут быть проверены без увеличения использования пространства). SPACE ((f ((n)) не зависит от того, бесконечна ли рабочая лента или полубесконечна. Мы также можем иметь фиксированное количество лент, если f (n) является либо SPACE-конструируемой тупл, дающей использование пространства на каждую ленту, либо SPACE-конструируемым числом, дающим общее использование пространства (не считая накладных расходов на хранение длины каждой ленты). Доказательство похоже на доказательство теоремы о иерархии пространства, но с двумя осложнениями: универсальная машина Тьюринга должна быть эффективной в пространстве, а обратная сторона должна быть эффективной в пространстве. В целом можно построить универсальные машины Тьюринга с O{\log{space} пространством над головой и при соответствующих предположениях только O{\displaystyle O}{\log{space}} пространством над головой (которое может зависеть от моделируемой машины). Для обращения ключевой проблемой является то, как обнаружить, если симулированная машина отклоняет, входя в бесконечную (с ограниченным пространством) петлю. Если просто подсчитать количество шагов, то расход места увеличится примерно на f (n). За счет потенциально экспоненциального увеличения времени петли могут быть обнаружены пространственно эффективно следующим образом: модифицируйте машину, чтобы стереть все и перейти к определенной конфигурации A при успехе. Используйте поиск на глубине, чтобы определить, можно ли достичь A в пространстве, ограниченном от исходной конфигурации. Поиск начинается с А и переходит через конфигурации, которые ведут к А. Благодаря детерминизму это может быть сделано на месте и без вхождения в цикл. Можно также определить, превышает ли машина пространственную границу (в отличие от цикла в пределах пространственной границы), повторяя все конфигурации, которые собираются превысить пространственную границу, и проверяя (опять же, используя поиск глубины), ведет ли начальная конфигурация к какой-либо из них.

If space is measured as the number of cells used regardless of alphabet size, then 1=\mathsf{SPACE}(f(n)) = \mathsf{SPACE}(O(f(n))) because one can achieve any linear compression by switching to a larger alphabet. However, by measuring space in bits, a much sharper separation is achievable for deterministic space. Instead of being defined up to a multiplicative constant, space is now defined up to an additive constant. However, because any constant amount of external space can be saved by storing the contents into the internal state, we still have 1=\mathsf{SPACE}(f(n)) = \mathsf{SPACE}(f(n)+O(1)). Assume that f is space constructible. SPACE is deterministic. For a wide variety of sequential computational models, including for Turing machines, SPACE(f(n) ω(log(f(n)+n))) ⊊ SPACE(f(n)). This holds even if SPACE(f(n) ω(log(f(n)+n))) is defined using a different computational model than \mathsf{SPACE}(f(n)) because the different models can simulate each other with O(\log(f(n)+n)) space overhead. For certain computational models, we even have SPACE(f(n) ω(1)) ⊊ SPACE(f(n)). In particular, this holds for Turing machines if we fix the alphabet, the number of heads on the input tape, the number of heads on the worktape (using a single worktape), and add delimiters for the visited portion of the worktape (that can be checked without increasing space usage). SPACE(f(n)) does not depend on whether the worktape is infinite or semi infinite. We can also have a fixed number of worktapes if f(n) is either a SPACE constructible tuple giving the per tape space usage, or a SPACE(f(n) ω(log(f(n))) constructible number giving the total space usage (not counting the overhead for storing the length of each tape). The proof is similar to the proof of the space hierarchy theorem, but with two complications: The universal Turing machine has to be space efficient, and the reversal has to be space efficient. One can generally construct universal Turing machines with O(\log(space)) space overhead, and under appropriate assumptions, just O(1) space overhead (which may depend on the machine being simulated). For the reversal, the key issue is how to detect if the simulated machine rejects by entering an infinite (space constrained) loop. Simply counting the number of steps taken would increase space consumption by about f(n). At the cost of a potentially exponential time increase, loops can be detected space efficiently as follows:

Modify the machine to erase everything and go to a specific configuration A on success. Use depth first search to determine whether A is reachable in the space bound from the starting configuration. The search starts at A and goes over configurations that lead to A. Because of determinism, this can be done in place and without going into a loop. It can also be determined whether the machine exceeds a space bound (as opposed to looping within the space bound) by iterating over all configurations about to exceed the space bound and checking (again using depth first search) whether the initial configuration leads to any of them.