Введение
Теория логики для объяснения наблюдений из квантовой теории.
In the mathematical study of logic and the physical analysis of quantum foundations, quantum logic is a set of rules for manipulation of propositions inspired by the structure of quantum theory. The formal system takes as its starting point an observation of Garrett Birkhoff and John von Neumann, that the structure of experimental tests in classical mechanics forms a Boolean algebra, but the structure of experimental tests in quantum mechanics forms a much more complicated structure. A number of other logics have also been proposed to analyze quantum mechanical phenomena, unfortunately also under the name of "quantum logic(s)". They are not the subject of this article. For discussion of the similarities and differences between quantum logic and some of these competitors, see
Quantum logic has been proposed as the correct logic for propositional inference generally, most notably by the philosopher Hilary Putnam, at least at one point in his career. This thesis was an important ingredient in Putnam's 1968 paper "Is Logic Empirical?" in which he analysed the epistemological status of the rules of propositional logic. Modern philosophers reject quantum logic as a basis for reasoning, because it lacks a material conditional; a common alternative is the system of linear logic, of which quantum logic is a fragment. Mathematically, quantum logic is formulated by weakening the distributive law for a Boolean algebra, resulting in an orthocomplemented lattice. Quantum mechanical observables and states can be defined in terms of functions on or to the lattice, giving an alternate formalism for quantum computations.
В математическом изучении логики и физическом анализе основ квантовой механики, квантовая логика представляет собой набор правил для манипулирования высказываниями, вдохновленных структурой квантовой теории. Формальная система берет за основу наблюдение Гарретта Биркоффа и Джона фон Неймана о том, что структура экспериментальных проверок в классической механике образует булеву алгебру, а структура экспериментальных проверок в квантовой механике – гораздо более сложную структуру. Для анализа квантово-механических явлений также был предложен ряд других логик, к сожалению, также под названием «квантовая логика». Они не являются предметом данной статьи. Для обсуждения сходств и различий между квантовой логикой и некоторыми из этих альтернатив, см.
In the mathematical study of logic and the physical analysis of quantum foundations, quantum logic is a set of rules for manipulation of propositions inspired by the structure of quantum theory. The formal system takes as its starting point an observation of Garrett Birkhoff and John von Neumann, that the structure of experimental tests in classical mechanics forms a Boolean algebra, but the structure of experimental tests in quantum mechanics forms a much more complicated structure. A number of other logics have also been proposed to analyze quantum mechanical phenomena, unfortunately also under the name of "quantum logic(s)". They are not the subject of this article. For discussion of the similarities and differences between quantum logic and some of these competitors, see
Quantum logic has been proposed as the correct logic for propositional inference generally, most notably by the philosopher Hilary Putnam, at least at one point in his career. This thesis was an important ingredient in Putnam's 1968 paper "Is Logic Empirical?" in which he analysed the epistemological status of the rules of propositional logic. Modern philosophers reject quantum logic as a basis for reasoning, because it lacks a material conditional; a common alternative is the system of linear logic, of which quantum logic is a fragment. Mathematically, quantum logic is formulated by weakening the distributive law for a Boolean algebra, resulting in an orthocomplemented lattice. Quantum mechanical observables and states can be defined in terms of functions on or to the lattice, giving an alternate formalism for quantum computations.
Квантовая логика была предложена как корректная логика для пропозиционального вывода в целом, особенно философом Хилари Путнамом, по крайней мере, на определенном этапе его карьеры. Этот тезис был важной частью работы Путнама 1968 года «Является ли логика эмпирической?», в которой он проанализировал эпистемологический статус правил пропозициональной логики. Современные философы отвергают квантовую логику как основу для рассуждений, поскольку ей не хватает материальной импликации; распространенной альтернативой является система линейной логики, фрагментом которой является квантовая логика. Математически квантовая логика формулируется путем ослабления закона дистрибутивности для булевой алгебры, что приводит к ортокомплементированной решетке. Квантово-механические наблюдаемые и состояния могут быть определены через функции на решетке или в решетку, предоставляя альтернативный формализм для квантовых вычислений.
In the mathematical study of logic and the physical analysis of quantum foundations, quantum logic is a set of rules for manipulation of propositions inspired by the structure of quantum theory. The formal system takes as its starting point an observation of Garrett Birkhoff and John von Neumann, that the structure of experimental tests in classical mechanics forms a Boolean algebra, but the structure of experimental tests in quantum mechanics forms a much more complicated structure. A number of other logics have also been proposed to analyze quantum mechanical phenomena, unfortunately also under the name of "quantum logic(s)". They are not the subject of this article. For discussion of the similarities and differences between quantum logic and some of these competitors, see
Quantum logic has been proposed as the correct logic for propositional inference generally, most notably by the philosopher Hilary Putnam, at least at one point in his career. This thesis was an important ingredient in Putnam's 1968 paper "Is Logic Empirical?" in which he analysed the epistemological status of the rules of propositional logic. Modern philosophers reject quantum logic as a basis for reasoning, because it lacks a material conditional; a common alternative is the system of linear logic, of which quantum logic is a fragment. Mathematically, quantum logic is formulated by weakening the distributive law for a Boolean algebra, resulting in an orthocomplemented lattice. Quantum mechanical observables and states can be defined in terms of functions on or to the lattice, giving an alternate formalism for quantum computations.
Введение
Наиболее заметным отличием между квантовой логикой и классической логикой является невыполнение закона дистрибутивности для высказываний: p и (q или r) = (p и q) или (p и r), где символы p, q и r – это пропозициональные переменные. Чтобы проиллюстрировать, почему закон дистрибутивности не выполняется, рассмотрим частицу, движущуюся по прямой, и (используя некоторую систему единиц, в которой приведённая постоянная Планка равна 1) пусть:
p = "частица имеет импульс в интервале "
q = "частица находится в интервале "
r = "частица находится в интервале "
Мы можем заметить, что:
p и (q или r) = истинно,
иными словами, состояние частицы является взвешенной суперпозицией импульсов между 0 и +1/6 и положений между −1 и +3. С другой стороны, высказывания "p и q" и "p и r" каждое накладывает более строгие ограничения на одновременные значения положения и импульса, чем это допускается принципом неопределенности (у каждого из них неопределенность 1/3, что меньше допустимого минимума 1/2). Следовательно, не существует состояний, которые могли бы подтвердить какое-либо из этих высказываний, и
(p и q) или (p и r) = ложно.
p and (q or r) = (p and q) or (p and r),
where the symbols p, q and r are propositional variables. To illustrate why the distributive law fails, consider a particle moving on a line and (using some system of units where the reduced Planck constant is 1) let
p = "the particle has momentum in the interval "
q = "the particle is in the interval "
r = "the particle is in the interval "
We might observe that:
p and (q or r) = true
in other words, that the state of the particle is a weighted superposition of momenta between 0 and +1/6 and positions between −1 and +3. On the other hand, the propositions "p and q" and "p and r" each assert tighter restrictions on simultaneous values of position and momentum than are allowed by the uncertainty principle (they each have uncertainty 1/3, which is less than the allowed minimum of 1/2). So there are no states that can support either proposition, and
(p and q) or (p and r) = false
История и современная критика
В своем классическом трактате 1932 года «Математические основы квантовой механики» Джон фон Нейман отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как утверждения о физических измеримых величинах; то есть как потенциальные вопросы, на которые можно ответить «да» или «нет», которые наблюдатель может задать о состоянии физической системы, вопросы, которые можно разрешить посредством определенных измерений. Принципы манипулирования этими квантовыми утверждениями были затем названы квантовой логикой фон Нейманом и Биркоффом в статье 1936 года. Джордж Макки в своей книге 1963 года (также называемой «Математические основы квантовой механики») попытался аксиоматизировать квантовую логику как структуру ортокомплементированной решетки и признал, что физическую измеримую величину можно определить в терминах квантовых утверждений. Хотя в представлении Макки все еще предполагалось, что ортокомплементированная решетка является решеткой замкнутых линейных подпространств сепарабельного гильбертова пространства, Константин Пирон, Гюнтер Людвиг и другие позже разработали аксиоматизации, которые не опираются на базовое гильбертово пространство. Вдохновленный недавней защитой Гансом Рейхенбахом общей теории относительности, философ Хилари Путнам популяризировал работу Макки в двух статьях в 1968 и 1975 годах, в которых он приписывал идею о том, что аномалии, связанные с квантовыми измерениями, происходят из-за самой логики, своему соавтору, физику Дэвиду Финкельштейну. Путнам надеялся разработать возможную альтернативу скрытым переменным или коллапсу волновой функции в проблеме квантовых измерений, но теорема Глисона представляет серьезные трудности для достижения этой цели. Позже Путнам отказался от своих взглядов, хотя и без особого ажиотажа, но урон был нанесен. В то время как первоначальная работа Биркоффа и фон Неймана лишь пыталась систематизировать вычисления, связанные с копенгагенской интерпретацией квантовой механики, теперь сформировалась школа исследователей, надеявшихся, что квантовая логика предоставит жизнеспособную теорию скрытых переменных или сделает ее ненужной. Их работа оказалась бесплодной и теперь находится в немилости. Большинство философов считают квантовую логику непривлекательным конкурентом классической логики. Далеко не очевидно (хотя и верно), что квантовая логика является логикой в смысле описания процесса рассуждения, а не особенно удобным языком для обобщения измерений, выполняемых квантовыми приборами. В частности, современные философы науки утверждают, что квантовая логика пытается заменить метафизические трудности нерешенными проблемами в физике, а не решать эти физические проблемы должным образом. Тим Модлин пишет, что квантовая «логика «решает» [измерительную] проблему, делая ее невозможной для формулировки». Квантовая логика остается в ограниченном использовании среди логиков как крайне патологический контрпример (Далла Кьяра и Джантини: «Почему квантовая логика? Просто потому, что «квантовая логика существует!»»). Хотя центральное понимание квантовой логики остается математическим фольклором как инструмент интуиции для категорификации, обсуждения редко упоминают квантовую логику. Лучший шанс на возрождение квантовой логики связан с недавним развитием квантовых вычислений, которое породило множество новых логик для формального анализа квантовых протоколов и алгоритмов (см. также). Логика также может найти применение в (вычислительной) лингвистике.
Квантовая логика как логика наблюдаемого
Остальная часть статьи исходит из предположения, что читатель знаком со спектральной теорией самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Тем не менее, основные идеи можно понять и в конечномерном случае.
Наблюдаемые Макки
При заданной ортокомплементированной решетке Q, наблюдаемая Макки φ является счетно-аддитивным гомоморфизмом из ортокомплементированной решетки борелевских подмножеств R в Q. В символах это означает, что для любой последовательности {Si}i парно-непересекающихся борелевских подмножеств R, {φ(Si)}i являются парно-ортогональными элементами (элементами Q) и
Эквивалентно, наблюдаемая Макки является проекционно-значной мерой на R.
Теорема (спектральная теорема). Если Q является решеткой замкнутых подпространств гильбертова пространства H, то существует биективное соответствие между наблюдаемыми Макки и плотно определенными самосопряженными операторами на H.
Отношения с другими логиками
Квантовая логика встраивается в линейную логику и модальную логику B. Действительно, современные логики, используемые для анализа квантовых вычислений, часто начинаются с квантовой логики и стремятся добавить к ней желательные свойства расширений классической логики; результаты неизбежно встраивают квантовую логику. Ортокомплементированная решетка любого множества квантовых высказываний может быть встроена в булеву алгебру, которая затем становится доступной для классической логики.
Ограничения
Хотя многие работы по квантовой логике исходят из предположения, что лежащая в основе решетка должна быть ортомодулярной, такие логики не способны обрабатывать несколько взаимодействующих квантовых систем. В примере, приведенном Фулисом и Рэндаллом, существуют ортомодулярные высказывания с конечномерными гильбертовыми моделями, чье объединение не допускает ортомодулярной модели. Аналогично, квантовая логика, включающая ортомодулярный закон, опровергает теорему о дедукции. Квантовая логика не допускает разумной материальной импликации; любая связка, монотонная в определенном техническом смысле, сводит класс высказываний к булевой алгебре. Следовательно, квантовая логика испытывает трудности с представлением течения времени. Однако известно, что System BV, глубокий фрагмент линейной логики, тесно связанный с квантовой логикой, может обрабатывать произвольные дискретные пространства-времена.
Математические исследования и вычислительные приложения
Н. Папаниколау, "Формальное рассуждение о квантовых системах: обзор", ACM SIGACT News, 36(3), 2005. С. 51–66. arXiv cs/0508005.
Квантовые основы
Д. Коэн, Введение в пространство Гильберта и квантовую логику, Springer Verlag, 1989. Написана простым языком и содержит множество иллюстраций; подходит для студентов старших курсов.