Введение
Семья множеств, в которой каждая непересекающаяся подсемья содержит не более k множеств.
In combinatorics, a Helly family of order k is a family of sets in which every minimal subfamily with an empty intersection has k or fewer sets in it. Equivalently, every finite subfamily such that every k fold intersection is non empty has non empty total intersection. The k Helly property is the property of being a Helly family of order k.
The number k is frequently omitted from these names in the case that 1=k = 2. Thus, a set family has the Helly property if, for every n sets in the family, if , then
These concepts are named after Eduard Helly (1884–1943); Helly's theorem on convex sets, which gave rise to this notion, states that convex sets in Euclidean space of dimension n are a Helly family of order n + 1. The family of infinite arithmetic progressions of integers also has the 2 Helly property. That is, whenever a finite collection of progressions has the property that no two of them are disjoint, then there exists an integer that belongs to all of them; this is the Chinese remainder theorem. The Helly dimension of a subset S of a Euclidean space, such as a polyhedron, is one less than the Helly number of the family of translates of S. For instance, the Helly dimension of any hypercube is 1, even though such a shape may belong to a Euclidean space of much higher dimension. Helly dimension has also been applied to other mathematical objects. For instance defines the Helly dimension of a group (an algebraic structure formed by an invertible and associative binary operation) to be one less than the Helly number of the family of left cosets of the group.
В комбинаторике семейство Хелли порядка k – это семейство множеств, в котором каждая минимальная подсемья с пустым пересечением содержит не более k множеств. Эквивалентно, любое конечное подсемейство, для которого каждое k-кратное пересечение не пусто, имеет непустое общее пересечение. Свойство k-Хелли – это свойство быть семейством Хелли порядка k.
In combinatorics, a Helly family of order k is a family of sets in which every minimal subfamily with an empty intersection has k or fewer sets in it. Equivalently, every finite subfamily such that every k fold intersection is non empty has non empty total intersection. The k Helly property is the property of being a Helly family of order k.
The number k is frequently omitted from these names in the case that 1=k = 2. Thus, a set family has the Helly property if, for every n sets in the family, if , then
These concepts are named after Eduard Helly (1884–1943); Helly's theorem on convex sets, which gave rise to this notion, states that convex sets in Euclidean space of dimension n are a Helly family of order n + 1. The family of infinite arithmetic progressions of integers also has the 2 Helly property. That is, whenever a finite collection of progressions has the property that no two of them are disjoint, then there exists an integer that belongs to all of them; this is the Chinese remainder theorem. The Helly dimension of a subset S of a Euclidean space, such as a polyhedron, is one less than the Helly number of the family of translates of S. For instance, the Helly dimension of any hypercube is 1, even though such a shape may belong to a Euclidean space of much higher dimension. Helly dimension has also been applied to other mathematical objects. For instance defines the Helly dimension of a group (an algebraic structure formed by an invertible and associative binary operation) to be one less than the Helly number of the family of left cosets of the group.
Число k часто опускается в этих названиях, если k = 1 или k = 2. Таким образом, семейство множеств обладает свойством Хелли, если для каждого n множеств в семействе, если , то
In combinatorics, a Helly family of order k is a family of sets in which every minimal subfamily with an empty intersection has k or fewer sets in it. Equivalently, every finite subfamily such that every k fold intersection is non empty has non empty total intersection. The k Helly property is the property of being a Helly family of order k.
The number k is frequently omitted from these names in the case that 1=k = 2. Thus, a set family has the Helly property if, for every n sets in the family, if , then
These concepts are named after Eduard Helly (1884–1943); Helly's theorem on convex sets, which gave rise to this notion, states that convex sets in Euclidean space of dimension n are a Helly family of order n + 1. The family of infinite arithmetic progressions of integers also has the 2 Helly property. That is, whenever a finite collection of progressions has the property that no two of them are disjoint, then there exists an integer that belongs to all of them; this is the Chinese remainder theorem. The Helly dimension of a subset S of a Euclidean space, such as a polyhedron, is one less than the Helly number of the family of translates of S. For instance, the Helly dimension of any hypercube is 1, even though such a shape may belong to a Euclidean space of much higher dimension. Helly dimension has also been applied to other mathematical objects. For instance defines the Helly dimension of a group (an algebraic structure formed by an invertible and associative binary operation) to be one less than the Helly number of the family of left cosets of the group.
Эти понятия названы в честь Эдуарда Хелли (1884–1943); теорема Хелли о выпуклых множествах, давшая начало этому понятию, утверждает, что выпуклые множества в евклидовом пространстве размерности n являются семейством Хелли порядка n + 1. Семейство бесконечных арифметических прогрессий целых чисел также обладает свойством 2-Хелли. То есть, если конечная коллекция прогрессий обладает свойством, что никакие две из них не являются непересекающимися, то существует целое число, принадлежащее всем им; это китайская теорема об остатках. Размерность Хелли подмножества S евклидова пространства, например, многогранника, на единицу меньше числа Хелли семейства трансляций S. Например, размерность Хелли любого гиперкуба равна 1, хотя такая фигура может принадлежать евклидову пространству гораздо большей размерности. Размерность Хелли также применяется к другим математическим объектам. Например, размерность Хелли группы (алгебраической структуры, образованной обратимой и ассоциативной бинарной операцией) определяется как на единицу меньшая, чем число Хелли семейства левых смежных классов группы.
In combinatorics, a Helly family of order k is a family of sets in which every minimal subfamily with an empty intersection has k or fewer sets in it. Equivalently, every finite subfamily such that every k fold intersection is non empty has non empty total intersection. The k Helly property is the property of being a Helly family of order k.
The number k is frequently omitted from these names in the case that 1=k = 2. Thus, a set family has the Helly property if, for every n sets in the family, if , then
These concepts are named after Eduard Helly (1884–1943); Helly's theorem on convex sets, which gave rise to this notion, states that convex sets in Euclidean space of dimension n are a Helly family of order n + 1. The family of infinite arithmetic progressions of integers also has the 2 Helly property. That is, whenever a finite collection of progressions has the property that no two of them are disjoint, then there exists an integer that belongs to all of them; this is the Chinese remainder theorem. The Helly dimension of a subset S of a Euclidean space, such as a polyhedron, is one less than the Helly number of the family of translates of S. For instance, the Helly dimension of any hypercube is 1, even though such a shape may belong to a Euclidean space of much higher dimension. Helly dimension has also been applied to other mathematical objects. For instance defines the Helly dimension of a group (an algebraic structure formed by an invertible and associative binary operation) to be one less than the Helly number of the family of left cosets of the group.
Собственность Хелли
Если семейство непустых множеств имеет пустое пересечение, то число Хелли для этого семейства должно быть не меньше двух, следовательно, наименьшее k, для которого k-свойство Хелли нетривиально, равно 2. 2-свойство Хелли также известно как свойство Хелли. Семейство, обладающее 2-свойством Хелли, также известно как семейство Хелли. Существование точной оболочки позволяет изометрически вложить любое метрическое пространство в пространство с размерностью Хелли, равной 1.
Свойство Хелли в гиперграфах
Гиперграф эквивалентен семейству множеств. В терминах гиперграфов, гиперграф H = (V, E) обладает свойством Хелли, если для любого набора из n гиперребер в E, если , то . Для любого гиперграфа H, следующие утверждения эквивалентны:
H обладает свойством Хелли, и граф пересечений H (простой граф, в котором вершины соответствуют гиперребрам E, а два элемента E соединены тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение) является совершенным графом. Каждый частичный гиперграф H (то есть гиперграф, полученный из H удалением некоторых гиперребер) обладает свойством Кёнига, то есть размер его максимального паросочетания равен размеру его минимального поперечного сечения. Каждый частичный гиперграф H обладает свойством, что его максимальная степень равна его минимальному числу раскраски рёбер.