Кіріспе
Жиынтықтардың отбасы, онда әрбір бөлек кіші отбасында k немесе одан аз жиынтық болады.
Комбинаторикада, k реттік Хелли отбасы – бос қиылысы бар әрбір минималды кіші отбасында k немесе одан аз жиынтық болатын жиынтықтар отбасы. Басқаша айтқанда, әрбір k-еселік қиылысы бос емес болатын әрбір шекті кіші отбасының бос емес жалпы қиылысы бар. k Helly қасиеті – k реттік Helly отбасы болу қасиеті.
1=k=2 жағдайында k саны осы атаулардан жиі алынып тасталады. Осылайша, жиынтық отбасы Helly қасиетіне ие, егер отбасыдағы әр n жиынтық үшін, егер , онда . Бұл ұғымдар Эдуард Хеллидің (1884–1943) есімімен аталады; Хеллидің дөңес жиынтықтар туралы теоремасы, осы түсінікке бастау берді, онда n өлшемді Евклид кеңістігіндегі дөңес жиынтықтар n+1 реттік Helly отбасы болып табылады. Бұтындардың шексіз арифметикалық прогрессиялары отбасы да 2 Helly қасиетіне ие. Яғни, прогрессиялардың шекті жиынтығында олардың екеуі де бөлек болмаса, олардың бәріне тиесілі бүтін сан болады; бұл – қытайлық қалдық теоремасы. Эвклид кеңістігінің S жиынтығының, мысалы, көпбұрыштың, Хелли өлшемі S-тің ауыстырулары отбасының Хелли санынан бір кем. Мысалы, кез келген гиперкубтың Хелли өлшемі 1-ге тең, тіпті мұндай пішін жоғары өлшемді Евклид кеңістігіне тиесілі болуы мүмкін. Хелли өлшемі басқа математикалық объектілерге де қолданылған. Мысалы, топтың (инвертирленетін және ассоциативті бинарлық операциямен құрылған алгебралық құрылым) Хелли өлшемі топтың сол жақтанғы косеттері отбасының Хелли санынан бір кем деп анықталады.
These concepts are named after Eduard Helly (1884–1943); Helly's theorem on convex sets, which gave rise to this notion, states that convex sets in Euclidean space of dimension n are a Helly family of order n + 1. The family of infinite arithmetic progressions of integers also has the 2 Helly property. That is, whenever a finite collection of progressions has the property that no two of them are disjoint, then there exists an integer that belongs to all of them; this is the Chinese remainder theorem. The Helly dimension of a subset S of a Euclidean space, such as a polyhedron, is one less than the Helly number of the family of translates of S. For instance, the Helly dimension of any hypercube is 1, even though such a shape may belong to a Euclidean space of much higher dimension. Helly dimension has also been applied to other mathematical objects. For instance defines the Helly dimension of a group (an algebraic structure formed by an invertible and associative binary operation) to be one less than the Helly number of the family of left cosets of the group.
Хелли меншігі
Егер бос емес жиынтықтардың отбасының бос қиылысы болса, оның Хелли саны кем дегенде екі болуы керек, сондықтан k Хелли қасиетінің тривиалды емес ең кіші мәні k = 2 болады. 2 Хелли қасиеті Хелли қасиеті деп те аталады. 2 Хелли отбасы да Хелли отбасы деп аталады. Тығыз жабылудың болуы кез келген метрикалық кеңістікті Helly өлшемі 1 болатын кеңістікке изометриялық түрде енгізуге мүмкіндік береді.
Гиперграфтағы Хелли қасиеттері
Гиперграф жиындық отбасына баламалы. Гиперграфтар терминдерінде, гиперграф H = (V, E) егер E-дегі кез келген n гиперқыр үшін, егер , онда кез келген гиперграф H үшін келесілер эквивалентті: H Helly қасиетіне ие, және H-тың қиылысу графигі (E төбелері және E-нің екі элементі қиылысса байланысқан қарапайым график) - толық график. H-тың кез келген ішінара гиперграфы (яғни, H-тан кейбір гиперқырларды жою арқылы алынған гиперграф) König қасиетіне ие, яғни оның максималды сәйкестік өлшемі ең кіші қиылыс өлшеміне тең. H-тың кез келген ішінара гиперграфы оның максималды дәрежесі ең кіші жиек бояуының санымен тең деген қасиетке ие.
H has the Helly property, and the intersection graph of H (the simple graph in which the vertices are E and two elements of E are linked iff they intersect) is a perfect graph. Every partial hypergraph of H (i. e., a hypergraph derived from H by deleting some hyperedges) has the Konig property, i. e., its maximum matching size equals its minimum transversal size. Every partial hypergraph of H has the property that its maximum degree equals its minimum edge coloring number.