Введение

Теория квантовых калибровочных полей на решетке

В физике, теория калибровочных полей на решетке – это изучение калибровочных теорий в пространстве-времени, дискретизированном в решетку. Калибровочные теории важны в физике элементарных частиц и включают в себя основные теории элементарных частиц: квантовую электродинамику, квантовую хромодинамику (КХД) и Стандартную модель физики элементарных частиц. Формально, непертурбативные вычисления калибровочных теорий в непрерывном пространстве-времени включают в себя вычисление интеграла по траекториям бесконечной размерности, что является вычислительно невыполнимой задачей. Работая с дискретным пространством-временем, интеграл по траекториям становится конечномерным и может быть вычислен с помощью стохастических методов моделирования, таких как метод Монте-Карло. При стремлении размера решетки к бесконечности и бесконечном уменьшении расстояния между её узлами, восстанавливается теория непрерывного калибровочного поля.

Основы

В теории решётчатой калибровочной теории пространство-время поворачивается в евклидово пространство с помощью преобразования Вика и дискретизируется в решётку с узлами, разделёнными расстоянием и соединёнными связями. В наиболее часто рассматриваемых случаях, таких как решётчатая КХД, фермионные поля определяются в узлах решётки (что приводит к проблеме удвоения фермионов), а калибровочные поля определяются на связях. То есть, каждому элементу связи присваивается элемент U компактной группы Ли G (не алгебры). Следовательно, для моделирования КХД с группой Ли SU(3) на каждой связи определяется унитарная матрица 3x3. Связи присваивается ориентация, при этом обратный элемент соответствует той же связи с противоположной ориентацией. Каждому узлу присваивается значение в (трёхкомпонентный цветовой вектор, пространство, на котором действует фундаментальное представление SU(3), биспинор (четырёхкомпонентный спинор Дирака), вектор nf и переменная Грассмана). Таким образом, композиция элементов SU(3) связей вдоль пути (то есть упорядоченное умножение их матриц) аппроксимирует упорядоченный по пути экспоненциальный интеграл (геометрический интеграл), из которого можно вычислить значения вильсоновых петель для замкнутых путей.

Действия YangMills

Действие Янга–Миллса записывается на решетке с использованием петель Уилсона (названных в честь Кеннета Г. Уилсона), так что предел формально воспроизводит исходное действие в континууме. Величины, такие как массы частиц, вычисляются стохастически с использованием методов, таких как метод Монте-Карло. Конфигурации калибровочного поля генерируются с вероятностями, пропорциональными exp(-S), где S – действие на решетке, связанное с шагом решетки a. Величина, представляющая интерес, вычисляется для каждой конфигурации и усредняется. Расчеты часто повторяются при различных шагах решетки a, чтобы результат можно было экстраполировать в континуум. Такие вычисления часто чрезвычайно ресурсоемки и могут потребовать использования самых мощных доступных суперкомпьютеров. Для снижения вычислительной нагрузки можно использовать так называемое гашенное приближение, в котором фермионные поля рассматриваются как нединамические "замороженные" переменные. Хотя это было распространено в ранних расчетах решеточной КХД, сейчас стандартным является использование "динамических" фермионов. Эти моделирования обычно используют алгоритмы, основанные на молекулярной динамике или алгоритмах микроканонического ансамбля. Результаты вычислений решеточной КХД показывают, например, что в мезоне важны не только частицы (кварки и антикварки), но и "флюкстубы" глюонных полей.

Квантовая тривиальность

Теория решеткомерной калибровочной формы также важна для изучения квантовой тривиальности с помощью ренормализационной группы в реальном пространстве. Наиболее важной информацией в потоке RG являются так называемые фиксированные точки. Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе определяются этим набором фиксированных точек. Если эти фиксированные точки соответствуют теории свободного поля, то теория считается тривиальной или не взаимодействующей. Многочисленные фиксированные точки возникают при изучении решетчатых теорий Хиггса, но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остаётся открытым вопросом. Тривиальность пока не доказана строго, но решетчатые вычисления предоставили веские доказательства в её пользу. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса.

Другие применения

Первоначально разрешимые двухмерные теории решетчатой калибровочной теории были введены в 1971 году как модели с интересными статистическими свойствами теоретиком Францем Вегнером, работавшим в области фазовых переходов. Если в действии присутствуют только петли Уилсона размера 1×1, то можно показать, что решетчатая калибровочная теория является точно двойственной к моделям спиновых пен.