Симметрия Зарядового Сопряжения в Физике

Введение

Симметрия физических законов при преобразовании конъюгации заряда

В физике конъюгация заряда — это преобразование, которое меняет местами все частицы с их соответствующими античастицами, тем самым изменяя знак всех зарядов: не только электрического заряда, но и зарядов, связанных с другими силами. Термин C-симметрия является сокращением фразы "симметрия конъюгации заряда" и используется в обсуждениях симметрии физических законов относительно преобразования конъюгации заряда. Другими важными дискретными симметриями являются P-симметрия (паритет) и T-симметрия (обращение времени). Эти дискретные симметрии, C, P и T, являются симметриями уравнений, описывающих известные фундаментальные силы природы: электромагнетизм, гравитацию, сильное и слабое взаимодействия. Чтобы проверить, правильно ли данное математическое уравнение моделирует природу, необходимо дать физическую интерпретацию не только непрерывным симметриям, таким как движение во времени, но и его дискретным симметриям, а затем определить, соответствует ли природа этим симметриям. В отличие от непрерывных симметрий, интерпретация дискретных симметрий представляется несколько более сложной и запутанной. Первым неожиданным результатом стало открытие в 1950-х годах Чиен Шиунг Ву, показавшей, что слабое взаимодействие нарушает P-симметрию. В течение нескольких десятилетий казалось, что комбинированная симметрия CP сохраняется, пока не были обнаружены взаимодействия, нарушающие CP. Оба открытия были отмечены Нобелевскими премиями. C-симметрия особенно проблематична с физической точки зрения, поскольку Вселенная в основном состоит из материи, а не антиматерии, в то время как наивная C-симметрия физических законов предполагает, что должно быть равное количество и того, и другого. В настоящее время считается, что нарушение CP в ранней Вселенной может объяснить "избыток" материи, хотя дискуссии по этому вопросу продолжаются. В более ранних учебниках по космологии, датированных периодом до 1970-х годов, часто предполагалось, что далёкие галактики могут состоять целиком из антиматерии, тем самым поддерживая нулевой чистый баланс во Вселенной. В данной статье основное внимание уделяется выявлению и формулированию C-симметрии различных важных уравнений и теоретических систем, включая уравнение Дирака и структуру квантовой теории поля. Различные фундаментальные частицы можно классифицировать в соответствии с их поведением при преобразовании конъюгации заряда; это описано в статье о C-паритете.

In physics, charge conjugation is a transformation that switches all particles with their corresponding antiparticles, thus changing the sign of all charges: not only electric charge but also the charges relevant to other forces. The term C symmetry is an abbreviation of the phrase "charge conjugation symmetry", and is used in discussions of the symmetry of physical laws under charge conjugation. Other important discrete symmetries are P symmetry (parity) and T symmetry (time reversal). These discrete symmetries, C, P and T, are symmetries of the equations that describe the known fundamental forces of nature: electromagnetism, gravity, the strong and the weak interactions. Verifying whether some given mathematical equation correctly models nature requires giving physical interpretation not only to continuous symmetries, such as motion in time, but also to its discrete symmetries, and then determining whether nature adheres to these symmetries. Unlike the continuous symmetries, the interpretation of the discrete symmetries is a bit more intellectually demanding and confusing. An early surprise appeared in the 1950s, when Chien Shiung Wu demonstrated that the weak interaction violated P symmetry. For several decades, it appeared that the combined symmetry CP was preserved, until CP violating interactions were discovered. Both discoveries lead to Nobel prizes. The C symmetry is particularly troublesome, physically, as the universe is primarily filled with matter, not anti matter, whereas the naive C symmetry of the physical laws suggests that there should be equal amounts of both. It is currently believed that CP violation during the early universe can account for the "excess" matter, although the debate is not settled. Earlier textbooks on cosmology, predating the 1970s, routinely suggested that perhaps distant galaxies were made entirely of anti matter, thus maintaining a net balance of zero in the universe. This article focuses on exposing and articulating the C symmetry of various important equations and theoretical systems, including the Dirac equation and the structure of quantum field theory. The various fundamental particles can be classified according to behavior under charge conjugation; this is described in the article on C parity.

Неофициальный обзор

Конъюгация зарядов проявляется как симметрия в трех различных, но тесно связанных контекстах: как симметрия (классических, неквантованных) решений ряда известных дифференциальных уравнений, включая уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака, как симметрия соответствующих квантовых полей, и в общем случае — как симметрия в (псевдо)римановой геометрии. Во всех трех случаях эта симметрия в конечном счете оказывается симметрией относительно комплексного сопряжения, хотя конкретные объекты, подвергающиеся сопряжению, могут быть иногда неочевидны в зависимости от используемых обозначений, выбора системы координат и других факторов.

В классических областях

Симметрия конъюгации заряда интерпретируется как симметрия электрического заряда, поскольку во всех трех случаях (классическом, квантовом и геометрическом) можно построить токи Ноэтера, напоминающие токи классической электродинамики. Это связано с тем, что сама электродинамика, посредством уравнений Максвелла, может быть интерпретирована как структура на расслоении U(1), так называемом круговом расслоении. Это обеспечивает геометрическую интерпретацию электромагнетизма: электромагнитный потенциал интерпретируется как калибровочное соединение (соединение Эресмана) на круговом расслоении. Эта геометрическая интерпретация позволяет (практически) любому объекту, обладающему структурой со значениями в комплексных числах, взаимодействовать с электромагнитным полем, при условии, что это взаимодействие осуществляется инвариантно относительно калибровки. Калибровочная симметрия, в данной геометрической постановке, означает, что при движении по окружности соединенный объект также должен преобразовываться "по окружности", соответствующим образом отслеживая это движение. Более формально, можно сказать, что уравнения должны быть инвариантны относительно изменения локальных координатных систем на окружности. Для U(1) это просто означает, что система инвариантна относительно умножения на фазовый множитель, зависящий от (пространственно-временной) координаты. В этой геометрической постановке конъюгация заряда может быть понята как дискретная симметрия, выполняющая комплексное сопряжение, которое меняет направление обхода окружности.

В квантовой теории

В квантовой теории поля конъюгация заряда может быть понята как обмен частиц и античастиц. Чтобы понять это утверждение, необходимо иметь минимальное представление о том, что такое квантовая теория поля. В (значительно) упрощенном виде, это метод выполнения вычислений для получения решений системы связанных дифференциальных уравнений посредством теории возмущений. Ключевым элементом этого процесса является квантовое поле, по одному для каждого из (свободных, несвязанных) дифференциальных уравнений в системе. Квантовое поле обычно записывается как

где – импульс, – спиновый индекс, – вспомогательный индекс для других состояний в системе. и – операторы рождения и уничтожения (операторы повышения и понижения), а – решения (свободного, невзаимодействующего, несвязанного) дифференциального уравнения. Квантовое поле играет центральную роль, поскольку, как правило, неизвестно, как получить точные решения системы связанных дифференциальных уравнений. Однако, с помощью теории возмущений, приближенные решения могут быть построены как комбинации решений свободного поля. Для выполнения этой конструкции необходимо иметь возможность извлекать и использовать любое заданное решение свободного поля по требованию, когда это необходимо. Квантовое поле обеспечивает именно это: оно перечисляет все возможные решения свободного поля в векторном пространстве таким образом, что любое из них может быть выделено в любой момент времени с помощью операторов рождения и уничтожения. Операторы рождения и уничтожения подчиняются каноническим коммутационным соотношениям, в том смысле, что один оператор "отменяет" то, что другой "создает". Это подразумевает, что любое заданное решение должно быть сопряжено со своим "анти-решением" , так что одно отменяет или аннулирует другое. Сопряжение должно выполняться таким образом, чтобы все симметрии сохранялись. Поскольку обычно интересуются инвариантностью Лоренца, квантовое поле содержит интеграл по всем возможным системам координат Лоренца, представленный выше как интеграл по всем возможным импульсам (это интеграл по волокну расслоения). Сопряжение требует, чтобы данному сопоставлялось с противоположным импульсом и энергией. Квантовое поле также является суммой по всем возможным спиновым состояниям; двойное сопряжение снова соответствует противоположным спинам. Аналогично, любые другие квантовые числа также сопрягаются как противоположности. Существует техническая сложность в выполнении этого двойного сопряжения: необходимо описать, что означает, что данное решение является "двойственным" другому решению , и описать это таким образом, чтобы оно оставалось последовательно двойственным при интегрировании по волокну расслоения, при интегрировании (суммировании) по волокну, описывающему спин, и при интегрировании (суммировании) по любым другим волокнам, возникающим в теории. Когда волокно, по которому интегрируется, является U(1)-волокном электромагнетизма, двойное сопряжение заключается в обращении направления (ориентации) на волокне. Когда волокно, по которому интегрируется, является SU(3)-волокном цветового заряда, двойное сопряжение снова обращает ориентацию. Это "просто работает" для SU(3), поскольку у него есть два двойственных фундаментальных представления и , которые могут быть естественным образом сопряжены. Этот предписывающий способ для квантового поля естественным образом обобщается на любую ситуацию, в которой можно перечислить непрерывные симметрии системы и определить двойственные объекты согласованным и непротиворечивым образом. Сопряжение связывает противоположные заряды в полностью абстрактном смысле. В физике заряд связан с генератором непрерывной симметрии. Различные заряды связаны с различными собственными пространствами инвариантов Казимира универсальной огибающей алгебры для этих симметрий. Это справедливо как для симметрии Лоренца базового пространственно-временного многообразия, так и для симметрий любых волокон в расслоении над пространством-временем. Двойственность заменяет генератор симметрии на минус генератор. Таким образом, конъюгация заряда связана с отражением вдоль линейного расслоения или расслоения определителей пространства симметрий. Вышеизложенное представляет собой схематическое описание общей идеи квантового поля в квантовой теории поля. Физическая интерпретация заключается в том, что решения соответствуют частицам, а решения – античастицам, и, следовательно, конъюгация заряда является сопряжением двух. Этот эскиз также предоставляет достаточно подсказок, чтобы указать, как конъюгация заряда может выглядеть в общем геометрическом контексте. Нет каких-либо особых вынужденных требований использовать теорию возмущений для построения квантовых полей, которые будут выступать в качестве посредников в пертурбативном разложении. Конъюгация заряда может быть сформулирована в общем виде.

where is the momentum, is a spin label, is an auxiliary label for other states in the system. The and are creation and annihilation operators (ladder operators) and are solutions to the (free, non interacting, uncoupled) differential equation in question. The quantum field plays a central role because, in general, it is not known how to obtain exact solutions to the system of coupled differential questions. However, via perturbation theory, approximate solutions can be constructed as combinations of the free field solutions. To perform this construction, one has to be able to extract and work with any one given free field solution, on demand, when required. The quantum field provides exactly this: it enumerates all possible free field solutions in a vector space such that any one of them can be singled out at any given time, via the creation and annihilation operators. The creation and annihilation operators obey the canonical commutation relations, in that the one operator "undoes" what the other "creates". This implies that any given solution must be paired with its "anti solution" so that one undoes or cancels out the other. The pairing is to be performed so that all symmetries are preserved. As one is generally interested in Lorentz invariance, the quantum field contains an integral over all possible Lorentz coordinate frames, written above as an integral over all possible momenta (it is an integral over the fiber of the frame bundle). The pairing requires that a given is associated with a of the opposite momentum and energy. The quantum field is also a sum over all possible spin states; the dual pairing again matching opposite spins. Likewise for any other quantum numbers, these are also paired as opposites. There is a technical difficulty in carrying out this dual pairing: one must describe what it means for some given solution to be "dual to" some other solution and to describe it in such a way that it remains consistently dual when integrating over the fiber of the frame bundle, when integrating (summing) over the fiber that describes the spin, and when integrating (summing) over any other fibers that occur in the theory. When the fiber to be integrated over is the U(1) fiber of electromagnetism, the dual pairing is such that the direction (orientation) on the fiber is reversed. When the fiber to be integrated over is the SU(3) fiber of the color charge, the dual pairing again reverses orientation. This "just works" for SU(3) because it has two dual fundamental representations and which can be naturally paired. This prescription for a quantum field naturally generalizes to any situation where one can enumerate the continuous symmetries of the system, and define duals in a coherent, consistent fashion. The pairing ties together opposite charges in the fully abstract sense. In physics, a charge is associated with a generator of a continuous symmetry. Different charges are associated with different eigenspaces of the Casimir invariants of the universal enveloping algebra for those symmetries. This is the case for both the Lorentz symmetry of the underlying spacetime manifold, as well as the symmetries of any fibers in the fiber bundle posed above the spacetime manifold. Duality replaces the generator of the symmetry with minus the generator. Charge conjugation is thus associated with reflection along the line bundle or determinant bundle of the space of symmetries. The above then is a sketch of the general idea of a quantum field in quantum field theory. The physical interpretation is that solutions correspond to particles, and solutions correspond to antiparticles, and so charge conjugation is a pairing of the two. This sketch also provides enough hints to indicate what charge conjugation might look like in a general geometric setting. There is no particular forced requirement to use perturbation theory, to construct quantum fields that will act as middle men in a perturbative expansion. Charge conjugation can be given a general setting.

В геометрии

Для общего риманова и псевдориманова многообразия существует тангенциальный пучок, котангенциальный пучок и метрика, связывающая их вместе. Есть несколько интересных вещей, которые можно сделать, столкнувшись с такой ситуацией. Одна из них заключается в том, что гладкая структура позволяет формулировать дифференциальные уравнения на многообразии; тангенциальные и котангенциальные пространства предоставляют достаточную структуру для проведения вычислений на многообразиях. Особый интерес представляет лапласиан, а с постоянным членом – оператор Клейна — Гордона. Котангенциальные пучки, по самой своей конструкции, всегда являются симплектическими многообразиями. Симплектические многообразия имеют канонические координаты, интерпретируемые как положение и импульс, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям. Это обеспечивает базовую инфраструктуру для расширения дуальности и, следовательно, сопряжения зарядов, на эту общую постановку. Вторая интересная задача – построение спиновой структуры. Пожалуй, самое замечательное в этом то, что это очень узнаваемое обобщение для псевдориманова многообразия размерности на обычное физическое понятие спиноров, живущих в (1,3)-мерном пространстве Минковского. Построение проходит через комплексифицированную алгебру Клиффорда для создания пучка Клиффорда и спинового многообразия. В результате этой конструкции получается система, удивительно знакомая тем, кто знаком со спинорами Дирака и уравнением Дирака. Ряд аналогий переносится и в этот общий случай. Во-первых, спиноры – это спиноры Вейля, и они приходят в виде комплексно сопряженных пар. Они естественно антикоммутируют (это следует из алгебры Клиффорда), что именно и требуется для установления связи с принципом исключения Паули. Другая аналогия – существование хирального элемента, аналогичного гамма-матрице, который разделяет эти спиноры на левые и правые подпространства. Комплексификация является ключевым ингредиентом, и она обеспечивает "электромагнетизм" в этой обобщенной постановке. Спинорный пучок преобразуется не просто под псевдоортогональной группой, являющейся обобщением группы Лоренца, а под большей группой – комплексифицированной спиновой группой. Она больше, поскольку имеет двойное накрытие группой. Один из способов увидеть это – то, что операторы Дирака на спиновом многообразии, будучи возведенными в квадрат, содержат член, возникающий из той части связности, которая связана с членом. Это полностью аналогично тому, что происходит при возведении в квадрат обычного уравнения Дирака в обычном пространстве Минковского. Второй намек заключается в том, что этот член связан с детерминантным пучком спиновой структуры, эффективно связывая левые и правые спиноры посредством комплексного сопряжения. Остается рассмотреть дискретные симметрии вышеуказанной конструкции. Есть несколько, которые, по-видимому, обобщают P-симметрию и T-симметрию. Идентифицируя измерения с временем, а измерения с пространством, можно обратить тангенциальные векторы в пространственном подпространстве, чтобы получить обращение времени, а изменение направления измерений соответствует четности. C-симметрию можно отождествить с отражением на линейном пучке. Чтобы связать все эти элементы в единое целое, наконец, есть понятие транспозиции, в соответствии с которой элементы алгебры Клиффорда могут быть записаны в обратном (транспонированном) порядке. Итоговый результат заключается в том, что не только обычные физические идеи полей переносятся в общую риманову постановку, но и идеи дискретных симметрий. Есть два способа отреагировать на это. Один – рассматривать это как любопытный факт. Другой – осознать, что в низких размерностях (в низкомерном пространстве-времени) существует множество "случайных" изоморфизмов между различными группами Ли и другими разнообразными структурами. Возможность изучать их в общей постановке позволяет разъединить эти связи и более четко понять, "откуда берутся вещи".

For general Riemannian and pseudo Riemannian manifolds, one has a tangent bundle, a cotangent bundle and a metric that ties the two together. There are several interesting things one can do, when presented with this situation. One is that the smooth structure allows differential equations to be posed on the manifold; the tangent and cotangent spaces provide enough structure to perform calculus on manifolds. Of key interest is the Laplacian, and, with a constant term, what amounts to the Klein–Gordon operator. Cotangent bundles, by their basic construction, are always symplectic manifolds. Symplectic manifolds have canonical coordinates interpreted as position and momentum, obeying canonical commutation relations. This provides the core infrastructure to extend duality, and thus charge conjugation, to this general setting. A second interesting thing one can do is to construct a spin structure. Perhaps the most remarkable thing about this is that it is a very recognizable generalization to a dimensional pseudo Riemannian manifold of the conventional physics concept of spinors living on a (1,3) dimensional Minkowski spacetime. The construction passes through a complexified Clifford algebra to build a Clifford bundle and a spin manifold. At the end of this construction, one obtains a system that is remarkably familiar, if one is already acquainted with Dirac spinors and the Dirac equation. Several analogies pass through to this general case. First, the spinors are the Weyl spinors, and they come in complex conjugate pairs. They are naturally anti commuting (this follows from the Clifford algebra), which is exactly what one wants to make contact with the Pauli exclusion principle. Another is the existence of a chiral element, analogous to the gamma matrix which sorts these spinors into left and right handed subspaces. The complexification is a key ingredient, and it provides "electromagnetism" in this generalized setting. The spinor bundle doesn't "just" transform under the pseudo orthogonal group , the generalization of the Lorentz group , but under a bigger group, the complexified spin group It is bigger in that it has a double covering by

The piece can be identified with electromagnetism in several different ways. One way is that the Dirac operators on the spin manifold, when squared, contain a piece with arising from that part of the connection associated with the piece. This is entirely analogous to what happens when one squares the ordinary Dirac equation in ordinary Minkowski spacetime. A second hint is that this piece is associated with the determinant bundle of the spin structure, effectively tying together the left and right handed spinors through complex conjugation. What remains is to work through the discrete symmetries of the above construction. There are several that appear to generalize P symmetry and T symmetry. Identifying the dimensions with time, and the dimensions with space, one can reverse the tangent vectors in the dimensional subspace to get time reversal, and flipping the direction of the dimensions corresponds to parity. The C symmetry can be identified with the reflection on the line bundle. To tie all of these together into a knot, one finally has the concept of transposition, in that elements of the Clifford algebra can be written in reversed (transposed) order. The net result is that not only do the conventional physics ideas of fields pass over to the general Riemannian setting, but also the ideas of the discrete symmetries. There are two ways to react to this. One is to treat it as an interesting curiosity. The other is to realize that, in low dimensions (in low dimensional spacetime) there are many "accidental" isomorphisms between various Lie groups and other assorted structures. Being able to examine them in a general setting disentangles these relationships, exposing more clearly "where things come from".

Конъюгация зарядов для квантовых полей

Выше описана конъюгация заряда только для решений, соответствующих одной частице. Когда поле Дирака подвергается второй квантизации, как это делается в квантовой теории поля, спинорные и электромагнитные поля описываются операторами. Инволюция конъюгации заряда тогда проявляется как унитарный оператор (в каллиграфическом шрифте), действующий на поля частиц и выражающийся следующим образом:

где не каллиграфический – та же 4×4 матрица, которая была приведена ранее.

Обратная зарядка в электрослабой теории

Конъюгация зарядов не изменяет хиральность частиц. Леворукий нейтрино переходит в леворукий антинейтрино при конъюгации заряда, которое не взаимодействует в рамках Стандартной модели. Это свойство и есть то, что подразумевается под "максимальным нарушением" C-симметрии в слабом взаимодействии. Некоторые предлагаемые расширения Стандартной модели, например, модели лево-правой симметрии, восстанавливают эту C-симметрию.

Комбинация перемены заряда и паритета

Некоторое время считалось, что симметрия C может быть объединена с преобразованием инверсии четности (см. симметрию P) для сохранения комбинированной симметрии CP. Однако нарушения этой симметрии были обнаружены в слабых взаимодействиях (в частности, в каонах и B-мезонах). В Стандартной модели это нарушение CP связано с единственной фазой в матрице CKM. Если CP объединяется с обращением времени (симметрия T), то можно показать, используя только аксиомы Уайтмана, что результирующая симметрия CPT универсально выполняется.