Компактные элементы в теории порядка: определение, свойства и связь с конечными множествами, топологией и алгеброй. Примеры и обобщения понятия компактности.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математической области теории порядка, компактными элементами или конечными элементами частично упорядоченного множества называются элементы, которые нельзя представить как верхнюю грань какого-либо непустого направленного множества, не содержащего элементов, больших компактного. Это понятие компактности одновременно обобщает понятия конечных множеств в теории множеств, компактных множеств в топологии и конечно порожденных модулей в алгебре. (В математике существуют и другие понятия компактности.)
In the Mathematical area of Order theory, the compact elements or finite elements of a partially ordered set are those elements that cannot be subsumed by a supremum of any non empty directed set that does not already contain members above the compact element. This notion of compactness simultaneously generalizes the notions of finite sets in set theory, compact sets in topology, and finitely generated modules in algebra. (There are other notions of compactness in mathematics.)
Примеры
Самый простой пример получается, рассматривая множество степеней некоторого множества A, упорядоченное по включению подмножеств. В этой полной решетке компактными элементами являются ровно конечные подмножества A. Это оправдывает название "конечный элемент". Термин "компактный" вдохновлен определением (топологически) компактных подмножеств топологического пространства T. Множество Y компактно, если для любого семейства открытых множеств S, если объединение элементов семейства S содержит Y как подмножество, то Y содержится как подмножество в объединении конечного подсемейства S. Рассматривая множество степеней T как полную решетку с порядком включения подмножеств, где супремум семейства множеств задается их объединением, топологическое условие компактности аналогично условию компактности в полурешетках соединения, но с дополнительным требованием открытости. Если он существует, наименьший элемент частично упорядоченного множества всегда компактен. Возможно, это единственный компактный элемент, как показывает пример действительного единичного интервала [0,1] (со стандартным порядком, унаследованным от действительных чисел). Каждый полностью соединенный простой элемент решетки компактен.
The most basic example is obtained by considering the power set of some set A, ordered by subset inclusion. Within this complete lattice, the compact elements are exactly the finite subsets of A. This justifies the name "finite element". The term "compact" is inspired by the definition of (topologically) compact subsets of a topological space T. A set Y is compact if for every collection of open sets S, if the union over S includes Y as a subset, then Y is included as a subset of the union of a finite subcollection of S. Considering the power set of T as a complete lattice with the subset inclusion order, where the supremum of a collection of sets is given by their union, the topological condition for compactness mimics the condition for compactness in join semilattices, but for the additional requirement of openness. If it exists, the least element of a poset is always compact. It may be that this is the only compact element, as the example of the real unit interval [0,1] (with the standard ordering inherited from the real numbers) shows. Every completely join prime element of a lattice is compact.
Приложения
Компактные элементы важны в информатике в семантическом подходе, называемом теорией доменов, где они рассматриваются как своего рода примитивные элементы: информация, представленная компактными элементами, не может быть получена никаким приближением, которое изначально не содержит этих знаний. Компактные элементы нельзя аппроксимировать элементами, строго меньшими их. С другой стороны, может оказаться, что все некомпактные элементы могут быть получены как направленные супремумы компактных элементов. Это благоприятная ситуация, поскольку множество компактных элементов часто меньше исходного частично упорядоченного множества (посета) – примеры, приведенные выше, это демонстрируют.
Compact elements are important in computer science in the semantic approach called domain theory, where they are considered as a kind of primitive element: the information represented by compact elements cannot be obtained by any approximation that does not already contain this knowledge. Compact elements cannot be approximated by elements strictly below them. On the other hand, it may happen that all non compact elements can be obtained as directed suprema of compact elements. This is a desirable situation, since the set of compact elements is often smaller than the original poset—the examples above illustrate this.