Ре́ттік теориядағы жиынтық элементтер, бағытталған жиынның жоғарғы шегімен қамтылмаған элементтер. Мұндағы жиынтықтар, топология, алгебрадағы компактты жиынтар қарастырылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық тәртіп теориясында, ішінара реттелген жиынның компакт элементтері немесе шекті элементтері – бұл, егер бос емес, бағытталған жиынның компакт элементтен жоғары мүшелері болмаса, онда оның жоғарғы шегімен қамтылмайтын элементтер. Бұл компакттық ұғымы жиын теориясындағы шекті жиындар, топологиядағы компакт жиындар және алгебрадағы шекті жасалған модульдер ұғымдарын бірдей қалыпқа келтіреді. (Математикада компакттықтың басқа да ұғымдары бар.)
In the Mathematical area of Order theory, the compact elements or finite elements of a partially ordered set are those elements that cannot be subsumed by a supremum of any non empty directed set that does not already contain members above the compact element. This notion of compactness simultaneously generalizes the notions of finite sets in set theory, compact sets in topology, and finitely generated modules in algebra. (There are other notions of compactness in mathematics.)
Мысалдар
Ең қарапайым мысал, кейбір A жиынының қуат жиынтығын қарастыру арқылы алынады, ол кіші жиынтықтың кірігуі бойынша реттелген. Бұл толық тордың ішінде, тығыз элементтер A жиынының шекті кіші жиынтықтары болып табылады. Бұл "шекті элемент" атауын негідейді. "Компакт" термині, топологиялық кеңістік T-нің (топологиялық) компактты кіші жиынтықтарының анықтамасынан шабыттандырылған. Y жиыны компактты болады, егер S ашық жиынтықтарының кез келген жиыны үшін, егер S жиынының біріктірілісінде Y кіші жиынтық ретінде қамтылса, онда Y, S жиынының шекті кіші жиынының біріктірілісінің кіші жиынтығы ретінде қамтылады. T жиынының қуат жиынтығын кіші жиынтықтың кірігуі бойынша реттелген толық тор ретінде қарастыра отырып, онда жиынтықтар жиынының жоғарғы шегі олардың біріктірілісімен беріледі, компакттылықтың топологиялық шарты, қосылу жартылай торларындағы компакттылық шартын қайталайды, бірақ ашықтыққа қосымша талаппен. Егер ол бар болса, реттің ең кіші элементі әрқашан компактты болады. Мысалы, нақты бірлік аралығы [0,1] (нақты сандардан мұраланған стандартты ретпен) көрсеткендей, бұл жалғыз компактты элемент болуы мүмкін. Тордағы әрбір толық қосылған жай элемент компактты болады.
The most basic example is obtained by considering the power set of some set A, ordered by subset inclusion. Within this complete lattice, the compact elements are exactly the finite subsets of A. This justifies the name "finite element". The term "compact" is inspired by the definition of (topologically) compact subsets of a topological space T. A set Y is compact if for every collection of open sets S, if the union over S includes Y as a subset, then Y is included as a subset of the union of a finite subcollection of S. Considering the power set of T as a complete lattice with the subset inclusion order, where the supremum of a collection of sets is given by their union, the topological condition for compactness mimics the condition for compactness in join semilattices, but for the additional requirement of openness. If it exists, the least element of a poset is always compact. It may be that this is the only compact element, as the example of the real unit interval [0,1] (with the standard ordering inherited from the real numbers) shows. Every completely join prime element of a lattice is compact.
Қолданбалар
Компактты элементтер компьютерлік ғылымдағы домен теориясы деп аталатын семантикалық тәсілде маңызды роль атқарады, онда олар белгілі бір бастауыш элементтердің түрі ретінде қарастырылады: компактты элементтермен ұсынылған ақпаратты осы білімді қамтымайтын ешқандай жуықтау арқылы алу мүмкін емес. Компактты элементтерді олардан тікелей төмен тұрған элементтермен жуықтауға болмайды. Дегенмен, барлық компактты емес элементтерді компактты элементтердің бағытталған жоғарғы шегі ретінде алуға болады. Бұл қалаулы жағдай, себебі компактты элементтер жиыны көбінесе бастапқы жиыннан кіші болады – жоғарыда келтірілген мысалдар осыны көрсетеді.
Compact elements are important in computer science in the semantic approach called domain theory, where they are considered as a kind of primitive element: the information represented by compact elements cannot be obtained by any approximation that does not already contain this knowledge. Compact elements cannot be approximated by elements strictly below them. On the other hand, it may happen that all non compact elements can be obtained as directed suprema of compact elements. This is a desirable situation, since the set of compact elements is often smaller than the original poset—the examples above illustrate this.