Введение
В математических областях теории порядка и теории доменов, домен Скотта — это алгебраический, ограниченно полный и направленно полный частичный порядок (dcpo). Они названы в честь Даны С. Скотта, которая первой изучала эти структуры на заре теории доменов. Домены Скотта очень тесно связаны с алгебраическими решётками, отличаясь лишь возможным отсутствием наибольшего элемента. Они также тесно связаны с информационными системами Скотта, которые представляют собой «синтаксическое» представление доменов Скотта. Хотя термин «домен Скотта» широко используется в указанном выше определении, термин «домен» не имеет столь общепринятого значения, и разные авторы используют различные определения; сам Скотт использовал термин «домен» для структур, которые теперь называются «доменами Скотта». Кроме того, домены Скотта встречаются под другими названиями, например, «алгебраическая полурешётка» в некоторых публикациях. Изначально Дана Скотт требовала полной решётки, а русский математик Юрий Ершов построил изоморфную структуру dcpo. Однако это было признано лишь после улучшения научных коммуникаций после падения железного занавеса. В честь их работы ряд математических работ теперь называют эту фундаментальную конструкцию доменом Скотта — Ершова.
Пояснение
Домены Скотта предназначены для представления частичных алгебраических данных, упорядоченных по содержанию информации. Элемент – это фрагмент данных, который может быть не полностью определен. Утверждение «α ≤ β» означает, что «β содержит всю информацию, которой обладает α». Нижний элемент – это элемент, не содержащий никакой информации. Компактные элементы – это элементы, представляющие конечное количество информации. При такой интерпретации мы видим, что супремум подмножества – это элемент, содержащий всю информацию, которой обладает любой элемент этого подмножества, и ничего больше. Очевидно, такой супремум существует (то есть имеет смысл) только в том случае, если подмножество не содержит противоречивой информации; следовательно, домен направлен и ограниченно полон, но не все супремумы обязательно существуют. Аксиома алгебраичности по сути гарантирует, что все элементы получают всю свою информацию из (не строго) более низких элементов в порядке; в частности, переход от компактных или "конечных" к некомпактным или "бесконечным" элементам не вводит скрыто никакой дополнительной информации, которая не могла бы быть достигнута на некотором конечном этапе. С другой стороны, инфимум – это элемент, содержащий всю информацию, общую для всех элементов , и не меньше. Если не содержит согласованной информации, то его элементы не имеют общей информации, и, следовательно, его инфимум – . Таким образом, все непустые инфимумы существуют, но не все инфимумы обязательно интересны. Это определение с точки зрения частичных данных позволяет определить алгебру как предел последовательности все более и более определенных частичных алгебр, иными словами, как фиксированную точку оператора, последовательно добавляющего больше информации в алгебру. Более подробную информацию можно найти в теории доменов.
Примеры
Каждый конечный частично упорядоченный набор направленно полон и алгебраичен (хотя и не обязательно ограниченно полон). Следовательно, любое ограниченно полное конечное множество является областью Скотта. Натуральные числа с добавленным верхним элементом ω образуют алгебраическую решетку, а значит, и область Скотта. Дополнительные примеры в этом направлении можно найти в статье об алгебраических решетках. Рассмотрим множество всех конечных и бесконечных слов над алфавитом {0,1}, упорядоченное отношением префиксности. Таким образом, слово w меньше слова v, если w является префиксом v, то есть существует (конечное или бесконечное) слово v', такое что, например, пустое слово является наименьшим элементом этого упорядочения, и легко показать, что любое направленное множество (которое всегда является цепью) имеет супремум. Аналогично, сразу же проверяется ограниченная полнота. Однако в полученном частично упорядоченном наборе отсутствует наибольший элемент, вместо этого имеется множество максимальных элементов (а именно все бесконечные слова). Он также алгебраичен, поскольку каждое конечное слово является компактным, и бесконечные слова можно приближать цепями конечных слов. Таким образом, это область Скотта, которая не является алгебраической решеткой. В качестве отрицательного примера рассмотрим действительные числа в единичном интервале [0,1], упорядоченные их естественным порядком. Эта ограниченно полная dcpo не является алгебраической. Фактически, её единственным компактным элементом является 0.