Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Рет пен домен теориясының математикалық салаларында Скотт домені — алгебралық, шектелген толық және бағытталған толық ішінара тәртіп (dcpo). Олар домен теориясының пайда болуымен бірге осы құрылымдарды алғаш зерттеген Дана С. Скотттың құрметіне аталған. Скотт домендері алгебралық торлармен тығыз байланысты, айырмашылығы тек ең үлкен элементінің болмауында ғана болуы мүмкін. Олар сондай-ақ Скотт ақпараттық жүйелерімен тығыз байланысты, олар Скотт домендерінің «синтаксистік» бейнесін құрайды. «Скотт домені» термині жоғарыдағы анықтамамен кеңінен қолданылса да, «домен» терминінің жалпы қабылданған мағынасы жоқ және әртүрлі авторлар әртүрлі анықтамаларды қолданады; Скотт өзі «домен» терминін қазір «Скотт домендері» деп аталатын құрылымдар үшін қолданған. Сонымен қатар, Скотт домендері кейбір жарияланымдарда «алгебралық жартылай тор» сияқты басқа атаулармен де кездеседі. Бастапқыда Дана Скотт толық тор талап еткен, ал орыс математигі Юрий Ершов dcpo-ның изоморфтық құрылымын жасаған. Бірақ бұл туралы тек темір перде құлағаннан кейін ғылыми байланыстар жақсарған соң ғана белгілі болды. Олардың еңбегін құрметтеу үшін көптеген математикалық мақалалар осы негізгі құрылысты «Скотт-Ершов» домені деп атайды.
In the mathematical fields of order and domain theory, a Scott domain is an algebraic, bounded complete and directed complete partial order (dcpo). They are named in honour of Dana S. Scott, who was the first to study these structures at the advent of domain theory. Scott domains are very closely related to algebraic lattices, being different only in possibly lacking a greatest element. They are also closely related to Scott information systems, which constitute a "syntactic" representation of Scott domains. While the term "Scott domain" is widely used with the above definition, the term "domain" does not have such a generally accepted meaning and different authors will use different definitions; Scott himself used "domain" for the structures now called "Scott domains". Additionally, Scott domains appear with other names like "algebraic semilattice" in some publications. Originally, Dana Scott demanded a complete lattice, and the Russian mathematician Yuri Yershov constructed the isomorphic structure of dcpo. But this was not recognized until after scientific communications improved after the fall of the Iron Curtain. In honour of their work, a number of mathematical papers now dub this fundamental construction a "Scott–Ershov" domain.
Түсіндірме
Скотт домендері ақпарат мазмұны бойынша реттелген, ішінара алгебралық деректерді ұсынуға арналған. Элемент – толық анықталмаған деректің бір бөлігі. « -дегі барлық ақпаратты қамтиды» деген мәлімдеме осылай түсіндіріледі. Ең төменгі элемент – мүлдем ақпарат жоқ элемент. Компактты элементтер – ақпараттың шекті мөлшерін ұсынатын элементтер. Осы түсінік бойынша, жиынның жоғарғы шегі – жиынның кез келген элементіндегі барлық ақпаратты қамтитын, бірақ одан артық емес элемент екенін көреміз. Әрине, мұндай жоғарғы шек тек қана (яғни, мағыналы) жиында қайшылықты ақпарат болмаған жағдайда ғана бар; сондықтан домен бағытталған және толық шектеледі, бірақ барлық жоғарғы шектер міндетті түрде бола бермейді. Алгебралық аксиома, негізінен, барлық элементтер өзіне қажетті барлық ақпаратты (қатаң емес) төменгі деңгейлерден алатынын қамтамасыз етеді; атап айтқанда, тығыз немесе «шекті» элементтерден тығыз емес немесе «шексіз» элементтерге секіру, қандай да бір шекті сатыда қол жеткізе алмайтын қосымша ақпаратты жасырын түрде енгізбейді. Екінші жағынан, ең төменгі шек – жиынның барлық элементтерімен ортақ ақпаратты қамтитын және одан кем емес элемент. Егер жиында тұрақты ақпарат болмаса, онда оның элементтерінде ортақ ақпарат болмайды, сондықтан оның ең төменгі шегі болады. Осылайша, барлық бос емес ең төменгі шектер бар, бірақ барлық ең төменгі шектер міндетті түрде қызығушылық тудырмайды. Бұл ішінара деректер тұрғысынан берілген анықтама алгебраны одан әрі анықталатын ішінара алгебралар тізбесінің лиміті ретінде анықтауға мүмкіндік береді, яғни алгебраға біртіндеп көбірек ақпарат қосылатын оператордың тұрақты нүктесі. Қосымша ақпарат алу үшін Домен теориясына жүгініңіз.
Scott domains are intended to represent partial algebraic data, ordered by information content. An element is a piece of data that might not be fully defined. The statement means " contains all the information that does". The bottom element is the element containing no information at all. Compact elements are the elements representing a finite amount of information. With this interpretation we can see that the supremum of a subset is the element that contains all the information that any element of contains, but no more. Obviously such a supremum only exists (i. e., makes sense) provided does not contain inconsistent information; hence the domain is directed and bounded complete, but not all suprema necessarily exist. The algebraicity axiom essentially ensures that all elements get all their information from (non strictly) lower down in the ordering; in particular, the jump from compact or "finite" to non compact or "infinite" elements does not covertly introduce any extra information that cannot be reached at some finite stage. On the other hand, the infimum is the element that contains all the information that is shared by all elements of , and no less. If contains no consistent information, then its elements have no information in common and so its infimum is In this way all non empty infima exist, but not all infima are necessarily interesting. This definition in terms of partial data allows an algebra to be defined as the limit of a sequence of increasingly more defined partial algebras—in other words a fixed point of an operator that adds progressively more information to the algebra. For more information, see Domain theory.
Мысалдар
Кез келген шекті позит жинағы бағытталған толық және алгебралық болып табылады (бірақ міндетті түрде шекті толық емес). Осылайша, кез келген шектелген толық шекті жиынтық Скотт домені болып табылады. Қосымша жоғарғы элементі ω бар натурал сандар алгебралық тор құрайды, демек Скотт доменін құрайды. Бұл бағыттағы қосымша мысалдарды алгебралық торлар туралы мақалада қараңыз. {0,1} әрпі бойынша барлық шекті және шексіз сөздер жиынтығын қарастырайық, сөздердің префиксі бойынша реттелген. Осылайша, w сөзі v сөзінен кіші болады, егер w, v сөзінің префиксі болса, яғни егер v' сөзі болса. Мысалы, бос сөз осы реттеудің төменгі элементі болып табылады, және кез келген бағытталған жиынтық (ол әрқашан тізбек болады) жоғары шегі бар екенін оңай көруге болады. Сол сияқты, шекті толықтығын бірден тексеруге болады. Алайда, алынған позит жинағында көптеген максималды элементтері бар жоғарғы элемент жоқ (атап айтқанда, барлық шексіз сөздер). Ол сондай-ақ алгебралық, өйткені әрбір шекті сөз компакт болып келеді және біз шексіз сөздерді шекті сөздер тізбегі арқылы жуықтауға болады. Демек, бұл Скотт домені, бірақ алгебралық тор емес. Кері мысал үшін, [0,1] бірлік аралығындағы нақты сандарды олардың табиғи ретімен қарастырайық. Бұл шектелген толық DCPO алгебралық емес. Шындығында, оның жалғыз компакт элементі 0-ге тең.
Every finite poset is directed complete and algebraic (though not necessarily bounded complete). Thus any bounded complete finite poset is a Scott domain. The natural numbers with an additional top element ω constitute an algebraic lattice, hence a Scott domain. For more examples in this direction, see the article on algebraic lattices. Consider the set of all finite and infinite words over the alphabet {0,1}, ordered by the prefix order on words. Thus, a word w is smaller than some word v if w is a prefix of v, i. e. if there is some (finite or infinite) word v' such that For example, The empty word is the bottom element of this ordering, and every directed set (which is always a chain) is easily seen to have a supremum. Likewise, one immediately verifies bounded completeness. However, the resulting poset is certainly missing a top having many maximal elements instead (namely all the infinite words). It is also algebraic, since every finite word happens to be compact and we certainly can approximate infinite words by chains of finite ones. Thus this is a Scott domain which is not an algebraic lattice. For a negative example, consider the real numbers in the unit interval [0,1], ordered by their natural order. This bounded complete dcpo is not algebraic. In fact its only compact element is 0.