Введение

В математической дисциплине теории порядка, комплементарная решётка — это ограниченная решётка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой для каждого элемента a существует комплемент, то есть элемент b, удовлетворяющий условиям a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0. Комплементы не обязаны быть единственными. Решётка, относительно комплементарная, — это решётка, в которой каждый интервал [c, d], рассматриваемый как ограниченная решётка сам по себе, является комплементарной решёткой. Ортокомплементацией на комплементированной решётке называется инволюция, которая является обратным по порядку отображением и сопоставляет каждому элементу его комплемент. Ортокомплементированная решётка, удовлетворяющая слабой форме модульного закона, называется ортомодульной решёткой. В ограниченных распределительных решётках комплементы единственны. Каждая комплементарная распределительная решётка имеет единственную ортокомплементацию и, фактически, является булевой алгеброй.

Определение и основные свойства

Комплементированная решетка – это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой для каждого элемента *a* существует комплемент, то есть элемент *b*, такой что
*a* ∨ *b* = 1 и *a* ∧ *b* = 0. В общем случае элемент может иметь более одного комплемента. Однако в (ограниченной) распределительной решетке каждый элемент имеет не более одного комплемента. Решетка, в которой каждый элемент имеет ровно один комплемент, называется однозначно комплементированной решеткой.

Решетка, обладающая свойством, что каждый интервал (рассматриваемый как подрешетка) является комплементированным, называется относительно комплементированной решеткой. Другими словами, относительно комплементированная решетка характеризуется тем, что для каждого элемента *a* в интервале [*c*, *d*] существует элемент *b*, такой что
*a* ∨ *b* = *d* и *a* ∧ *b* = *c*.
Такой элемент *b* называется комплементом элемента *a* относительно интервала. Распределительная решетка является комплементированной тогда и только тогда, когда она ограничена и относительно комплементирована. Решетка подпространств векторного пространства является примером комплементированной решетки, которая, как правило, не является распределительной.