Введение
В теории порядка, являющейся разделом математики, вложение порядка — это особый вид монотонной функции, предоставляющей способ включения одного частично упорядоченного множества в другое. Подобно связям Галуа, вложения порядка представляют собой понятие, строго более слабое, чем понятие изоморфизма порядка. Оба этих ослабления можно понять в терминах теории категорий.
Формальное определение
Формально, для двух частично упорядоченных множеств (посетов) и , функция f является вложением порядка, если она одновременно сохраняет порядок и отражает порядок, то есть для всех x и y из , выполняется:
Such a function is necessarily injective, since implies and
A retract is a pair of order preserving maps whose composition is the identity. In this case, is called a coretraction, and must be an order embedding. However, not every order embedding is a coretraction. As a trivial example, the unique order embedding from the empty poset to a nonempty poset has no retract, because there is no order preserving map More illustratively, consider the set of divisors of 6, partially ordered by x divides y, see picture. Consider the embedded sub poset A retract of the embedding would need to send to somewhere in above both and , but there is no such place.
x ≤ y ⇔ f(x) ≤ f(y).
Such a function is necessarily injective, since implies and
A retract is a pair of order preserving maps whose composition is the identity. In this case, is called a coretraction, and must be an order embedding. However, not every order embedding is a coretraction. As a trivial example, the unique order embedding from the empty poset to a nonempty poset has no retract, because there is no order preserving map More illustratively, consider the set of divisors of 6, partially ordered by x divides y, see picture. Consider the embedded sub poset A retract of the embedding would need to send to somewhere in above both and , but there is no such place.
Такая функция обязательно инъективна, поскольку f(x) = f(y) влечет x = y и y = x. Ретракт – это пара сохраняющих порядок отображений, композиция которых является тождественным отображением. В этом случае, одно из отображений называется коретракцией и должно быть вложением порядка. Однако, не каждое вложение порядка является коретракцией. В качестве тривиального примера, единственное вложение порядка из пустого посета в непустой poset не имеет ретракта, поскольку не существует сохраняющего порядок отображения обратно. Более наглядно, рассмотрим множество делителей 6, частично упорядоченное отношением "x делит y", см. рисунок. Рассмотрим встроенное подпосе́т . Ретракт этого вложения должен был бы отображать 2 в какое-то место в , находящееся выше как 1, так и 3, но такого места не существует.
Such a function is necessarily injective, since implies and
A retract is a pair of order preserving maps whose composition is the identity. In this case, is called a coretraction, and must be an order embedding. However, not every order embedding is a coretraction. As a trivial example, the unique order embedding from the empty poset to a nonempty poset has no retract, because there is no order preserving map More illustratively, consider the set of divisors of 6, partially ordered by x divides y, see picture. Consider the embedded sub poset A retract of the embedding would need to send to somewhere in above both and , but there is no such place.
Дополнительные перспективы
Посеты можно рассматривать с разных точек зрения, а вложения порядка настолько фундаментальны, что они проявляются практически везде. Например:
(Модель-теоретически) Посет – это множество, снабжённое (рефлексивным, антисимметричным и транзитивным) бинарным отношением. Вложение порядка A → B – это изоморфизм из A в элементарную подструктуру B. (Графо-теоретически) Посет – это (транзитивный, ациклический, ориентированный, рефлексивный) граф. Вложение порядка A → B – это изоморфизм графов из A в индуцированный подграф B. (Категорно-теоретически) Посет – это (малая, тонкая и скелетная) категория, такая что каждый гомсет содержит не более одного элемента. Вложение порядка A → B – это полный и верный функтор из A в B, который инъективен на объектах, или, эквивалентно, изоморфизм из A в полную подкатегорию B.
(Model theoretically) A poset is a set equipped with a (reflexive, antisymmetric and transitive) binary relation. An order embedding A → B is an isomorphism from A to an elementary substructure of B. (Graph theoretically) A poset is a (transitive, acyclic, directed, reflexive) graph. An order embedding A → B is a graph isomorphism from A to an induced subgraph of B. (Category theoretically) A poset is a (small, thin, and skeletal) category such that each homset has at most one element. An order embedding A → B is a full and faithful functor from A to B which is injective on objects, or equivalently an isomorphism from A to a full subcategory of B.