Кіріспе
Рет теориясында, математиканың бір саласы, рет ендіру – бұл бір жартылай реттелген жиынды екіншісіне енгізуге мүмкіндік беретін монотонды функцияның ерекше түрі. Галуа байланыстары сияқты, рет ендірулер рет изоморфизмі түсінігінен қатаң түрде әлсіз ұғымды құрайды. Бұл әлсіреулердің екеуін де категория теориясы тұрғысынан түсінуге болады.
Ресми анықтама
Формальды түрде, екі ішінара реттелген жиынтық (посеттер) және берілгенде, функция егер ол тәртіпті сақтаса және тәртіпті көрсететін болса, тәртіптік ендіру болып табылады, яғни, барлық және үшін , мынадай теңдік орындалады:
Мұндай функция міндетті түрде инъективті болады, себебі және болса, онда . Қайтару – бұл сәйкестікті құрайтын тәртіпті сақтау функцияларының жұбы. Бұл жағдайда, ол корретрация деп аталады және тәртіптік ендіру болуы керек. Алайда, әрбір тәртіптік ендіру корретрация бола бермейді. Мысалы, бос посеттен бос емес посетке жасалған жалғыз тәртіптік ендірудің қайтарылысы жоқ, себебі тәртіпті сақтайтын функция жоқ. Көрсетілген мысал ретінде, 6-дың бөлгіштерінен тұратын жиынтықты қарастырайық, ол x, y-ды бөледі ретімен ішінара реттелген (суретті қараңыз). Ендірілген ішкі посетті қарастырайық. Ендірілгеннің қайтарылысы -ты және жоғарырақ орналасқан жерге жіберуі керек, бірақ мұндай орын жоқ.
A retract is a pair of order preserving maps whose composition is the identity. In this case, is called a coretraction, and must be an order embedding. However, not every order embedding is a coretraction. As a trivial example, the unique order embedding from the empty poset to a nonempty poset has no retract, because there is no order preserving map More illustratively, consider the set of divisors of 6, partially ordered by x divides y, see picture. Consider the embedded sub poset A retract of the embedding would need to send to somewhere in above both and , but there is no such place.
Қосымша көзқарастар
Посеттерді көптеген тұрғыдан қарастыруға болады, ал тәртіп кіріктірулері осыншалықты қарапайым болғандықтан, оларды кез келген жерден байқауға болады. Мысалы: (модельдік теория бойынша) Посет – (керісінше, антисимметриялық және транзитивті) екілік қатынаспен жабдықталған жиын. A → B тәртіп кіріктіруі – A-дан B-нің элементарлық подструктурасына изоморфизм. (Графтар теориясы бойынша) Посет – (транзитивті, ациклді, бағытталған, керісінше) граф. A → B тәртіп кіріктіруі – A-дан B-нің индукцияланған подграфына граф изоморфизмі. (Категориялар теориясы бойынша) Посет – әрбір гоможеттің бір элементтен аспайтын (кішкентай, жұқа және скелеттік) категория. A → B тәртіп кіріктіруі – A-дан B-ге толық және адал функтор, ол объектілер бойынша инъективті, немесе эквивалентті түрде A-дан B-нің толық подкатегориясына изоморфизм.
(Model theoretically) A poset is a set equipped with a (reflexive, antisymmetric and transitive) binary relation. An order embedding A → B is an isomorphism from A to an elementary substructure of B. (Graph theoretically) A poset is a (transitive, acyclic, directed, reflexive) graph. An order embedding A → B is a graph isomorphism from A to an induced subgraph of B. (Category theoretically) A poset is a (small, thin, and skeletal) category such that each homset has at most one element. An order embedding A → B is a full and faithful functor from A to B which is injective on objects, or equivalently an isomorphism from A to a full subcategory of B.