Введение
Классическое ракетное уравнение, или идеальное ракетное уравнение, — это математическое уравнение, описывающее движение аппаратов, основанное на базовом принципе ракеты: устройство, способное создавать ускорение за счет реактивной тяги, возникающей при выбросе части своей массы с высокой скоростью, движется в соответствии с законом сохранения импульса. Авторство уравнения приписывают Константину Циолковскому, который независимо вывел его и опубликовал в 1903 году, хотя оно было независимо выведено и опубликовано Уильямом Муром в 1810 году, а затем переиздано в отдельной книге в 1813 году. Роберт Годдард также разработал его независимо в 1912 году, а Герман Оберт — примерно в 1920 году. Максимальное изменение скорости аппарата (при отсутствии внешних сил) равно:
The classical rocket equation, or ideal rocket equation is a mathematical equation that describes the motion of vehicles that follow the basic principle of a rocket: a device that can apply acceleration to itself using thrust by expelling part of its mass with high velocity can thereby move due to the conservation of momentum. It is credited to Konstantin Tsiolkovsky, who independently derived it and published it in 1903, although it had been independently derived and published by William Moore in 1810, and later published in a separate book in 1813. Robert Goddard also developed it independently in 1912, and Hermann Oberth derived it independently about 1920. The maximum change of velocity of the vehicle, (with no external forces acting) is:
where:
is the effective exhaust velocity;
is the specific impulse in dimension of time;
is standard gravity;
is the natural logarithm function;
is the initial total mass, including propellant, a. k. a. wet mass;
is the final total mass without propellant, a. k. a. dry mass. Given the effective exhaust velocity determined by the rocket motor's design, the desired delta v (e. g., orbital speed or escape velocity), and a given dry mass , the equation can be solved for the required propellant mass :
The necessary wet mass grows exponentially with the desired delta v.
где:
— эффективная скорость истечения реактивной струи;
— удельный импульс, выраженный во времени;
— стандартное ускорение свободного падения;
— функция натурального логарифма;
— начальная общая масса, включая топливо, также известная как "влажная масса";
— конечная общая масса без топлива, также известная как "сухая масса". При известной эффективной скорости истечения реактивной струи, определяемой конструкцией ракетного двигателя, требуемом изменении скорости (например, орбитальной скорости или скорости убегания) и заданной сухой массе , уравнение можно решить относительно необходимой массы топлива:
The classical rocket equation, or ideal rocket equation is a mathematical equation that describes the motion of vehicles that follow the basic principle of a rocket: a device that can apply acceleration to itself using thrust by expelling part of its mass with high velocity can thereby move due to the conservation of momentum. It is credited to Konstantin Tsiolkovsky, who independently derived it and published it in 1903, although it had been independently derived and published by William Moore in 1810, and later published in a separate book in 1813. Robert Goddard also developed it independently in 1912, and Hermann Oberth derived it independently about 1920. The maximum change of velocity of the vehicle, (with no external forces acting) is:
where:
is the effective exhaust velocity;
is the specific impulse in dimension of time;
is standard gravity;
is the natural logarithm function;
is the initial total mass, including propellant, a. k. a. wet mass;
is the final total mass without propellant, a. k. a. dry mass. Given the effective exhaust velocity determined by the rocket motor's design, the desired delta v (e. g., orbital speed or escape velocity), and a given dry mass , the equation can be solved for the required propellant mass :
The necessary wet mass grows exponentially with the desired delta v.
Необходимая влажная масса экспоненциально возрастает с увеличением требуемого изменения скорости.
The classical rocket equation, or ideal rocket equation is a mathematical equation that describes the motion of vehicles that follow the basic principle of a rocket: a device that can apply acceleration to itself using thrust by expelling part of its mass with high velocity can thereby move due to the conservation of momentum. It is credited to Konstantin Tsiolkovsky, who independently derived it and published it in 1903, although it had been independently derived and published by William Moore in 1810, and later published in a separate book in 1813. Robert Goddard also developed it independently in 1912, and Hermann Oberth derived it independently about 1920. The maximum change of velocity of the vehicle, (with no external forces acting) is:
where:
is the effective exhaust velocity;
is the specific impulse in dimension of time;
is standard gravity;
is the natural logarithm function;
is the initial total mass, including propellant, a. k. a. wet mass;
is the final total mass without propellant, a. k. a. dry mass. Given the effective exhaust velocity determined by the rocket motor's design, the desired delta v (e. g., orbital speed or escape velocity), and a given dry mass , the equation can be solved for the required propellant mass :
The necessary wet mass grows exponentially with the desired delta v.
Дельта-V
Дельта v (буквально «изменение скорости»), обозначаемая как Δv и произносимая как «дельта-ви», в динамике полёта космических аппаратов является мерой импульса, необходимого для выполнения манёвра, такого как взлёт с планеты или луны, посадка на них, или орбитальный манёвр в космосе. Это скалярная величина, измеряемая в единицах скорости. В этом контексте она не совпадает с фактическим изменением скорости аппарата. Дельта v создаётся реактивными двигателями, например, ракетными, и пропорциональна тяге на единицу массы и времени работы, а также используется для определения массы топлива, необходимой для данного манёвра, посредством ракетного уравнения. Для нескольких манёвров дельта v складывается линейно. Для межпланетных миссий дельта v часто отображается на графике «свиная отбивная» (porkchop plot), который показывает требуемую дельта v для миссии в зависимости от даты запуска.
Массовая доля
В аэрокосмической технике массовая доля топлива – это часть массы аппарата, которая не достигает пункта назначения и обычно используется для оценки его характеристик. Иными словами, массовая доля топлива – это отношение массы топлива к начальной массе аппарата. Для космических аппаратов пунктом назначения обычно является орбита, а для самолетов – место посадки. Более высокая массовая доля топлива соответствует меньшему весу конструкции. Другим связанным показателем является доля полезной нагрузки, представляющая собой отношение массы полезной нагрузки к начальной массе аппарата.
Применимость
Ракетное уравнение описывает основные принципы физики полета ракеты в одном кратком выражении. Оно также применимо к реактивным аппаратам, аналогичным ракетам, когда эффективная скорость истечения газов постоянна, и может быть просуммировано или интегрировано, если эффективная скорость истечения газов меняется. Ракетное уравнение учитывает только реактивную силу, создаваемую ракетным двигателем; оно не включает другие силы, которые могут действовать на ракету, такие как аэродинамические или гравитационные силы. Следовательно, при использовании уравнения для расчета необходимого количества топлива для запуска с (или управляемого посадки на) планеты с атмосферой, необходимо учитывать влияние этих сил при определении требуемого дельта-V (см. примеры ниже). То, что называют "тиранией ракетного уравнения", устанавливает предел количеству полезной нагрузки, которую может нести ракета, поскольку увеличение количества топлива увеличивает общую массу, а следовательно, и расход топлива. Уравнение не применимо к неракетным системам, таким как аэроторможение, электромагнитные пушки, космические лифты, пусковые кольца, тросовая тяга или световые паруса. Ракетное уравнение можно использовать для расчета орбитальных маневров, чтобы определить, сколько топлива необходимо для перехода на новую орбиту, или для определения новой орбиты в результате определенного расхода топлива. Применительно к орбитальным маневрам предполагается мгновенный маневр, при котором топливо расходуется и дельта-V прилагается моментально. Это предположение достаточно точно для кратковременных включений двигателей, таких как коррекция курса и маневры вывода на орбиту. С увеличением продолжительности включения двигателя точность снижается из-за влияния гравитации на аппарат в течение маневра. Для двигателей с малой тягой и длительным временем работы, таких как электрические двигатели, для прогнозирования орбитального движения используется более сложный анализ, основанный на распространении вектора состояния космического аппарата и интегрировании тяги.
Примеры
Предполагается скорость истечения газов и Δv (Земля на низкую околоземную орбиту, включая потери на преодоление гравитации и аэродинамического сопротивления). Ракета с одной ступенью на орбиту: = 0,884, следовательно, 88,4% от начальной общей массы должно приходиться на топливо. Оставшиеся 11,6% предназначены для двигателей, бака и полезной нагрузки. Двухступенчатая ракета на орбиту: предположим, что первая ступень должна обеспечить Δv; = 0,671, следовательно, 67,1% от начальной общей массы должно приходиться на топливо первой ступени. Остаточная масса составляет 32,9%. После отсоединения первой ступени остается масса, равная 32,9%, минус масса бака и двигателей первой ступени. Предположим, что это 8% от начальной общей массы, тогда остается 24,9%. Вторая ступень должна обеспечить Δv; = 0,648, следовательно, 64,8% оставшейся массы должно приходиться на топливо, что составляет 16,2% от первоначальной общей массы, а 8,7% остается для бака и двигателей второй ступени, полезной нагрузки, а в случае космического шаттла – также орбитального аппарата. Таким образом, в сумме 16,7% от первоначальной массы запуска доступно для всех двигателей, баков и полезной нагрузки.