Введение
Тип обобщения периодических функций в евклидовом пространстве.
В гармоническом анализе и теории чисел автоморфная форма — это функция с хорошими свойствами, отображающая топологическую группу G в комплексные числа (или комплексное векторное пространство), которая инвариантна относительно действия дискретной подгруппы этой топологической группы. Автоморфные формы являются обобщением понятия периодических функций в евклидовом пространстве на общие топологические группы. Модульные формы — это голоморфные автоморфные формы, определенные над группами SL(2, R) или PSL(2, R), где дискретной подгруппой является модульная группа или одна из её конгруэнтных подгрупп; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модульных форм. В более общем случае можно использовать аделический подход для одновременной работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп. С этой точки зрения, автоморфная форма над группой G(AF), для алгебраической группы G и алгебраического числового поля F, представляет собой комплекснозначную функцию на G(AF), которая инвариантна относительно сдвига на G(F) и удовлетворяет определенным условиям гладкости и роста. Пуанкаре впервые обнаружил автоморфные формы как обобщение тригонометрических и эллиптических функций. Благодаря гипотезам Лэнглендса, автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел.
История
До того, как была предложена эта весьма общая постановка (около 1960 года), уже имелись существенные разработки в области автоморфных форм, отличных от модулярных форм. Случай группы Фукса был изучен еще до 1900 года (см. ниже). Модулярные формы Гильберта (также называемые формами Гильберта — Блюменталя) были предложены вскоре после этого, хотя полная теория появилась значительно позже. Модулярные формы Сигеля, для которых G является симплектической группой, возникли естественным образом при рассмотрении модульных пространств и тета-функций. Послевоенный интерес к функциям нескольких комплексных переменных сделал естественным развивать идею автоморфной формы в тех случаях, когда эти формы действительно являются комплексно-аналитическими. Значительная работа в этом направлении была проделана, в частности, Ильей Пятецким-Шапиро, в годы вокруг 1960 года, для создания такой теории. Теория формулы следа Сельберга, применённая другими исследователями, продемонстрировала значительную глубину теории. Роберт Лэнгландс показал, как (в общем случае, хотя многие частные случаи были известны ранее) теорему Римана — Роха можно применить для вычисления размерностей автоморфных форм; это своего рода ретроспективная проверка обоснованности этого понятия. Он также разработал общую теорию рядов Эйзенштейна, которая соответствует тому, что в терминах спектральной теории можно было бы назвать «непрерывным спектром» для данной задачи, оставляя изучение формы вершины, или дискретной части, на будущее. С точки зрения теории чисел, куспидальные формы, начиная с работ Шринивасы Рамануджана, считались ключевым элементом в этой области.
Автоморфные представления
Последующее понятие "автоморфного представления" оказалось весьма полезным с технической точки зрения при работе с G, алгебраической группой, рассматриваемой как аделическая алгебраическая группа. Оно не охватывает полностью идею автоморфной формы, представленную выше, поскольку аделический подход позволяет одновременно работать со всем семейством подгрупп конгруэнтности. Автоморфное представление внутри L2-пространства для частного от деления аделической формы G – это представление, являющееся бесконечным тензорным произведением представлений p-адических групп, с определенными представлениями обобщенной алгебры для бесконечных простых чисел. Один из способов выразить изменение акцента заключается в том, что операторы Хекке здесь фактически приравниваются по значимости к операторам Казимира; что естественно с точки зрения функционального анализа, хотя и не столь очевидно для теории чисел. Именно эта концепция лежит в основе формулировки философии Лэнгландса.