Введение

Аналитическая функция на верхней полуплоскости с определенным поведением относительно модульной группы

В математике модульная форма — это (комплексная) аналитическая функция на верхней полуплоскости, , удовлетворяющая:

определенному функциональному уравнению относительно действия модульной группы,
и условию роста. Теория модульных форм, следовательно, относится к комплексному анализу. Основное значение теории заключается в ее связях с теорией чисел. Модульные формы возникают в других областях, таких как алгебраическая топология, упаковка шаров и теория струн. Теория модульных форм является частным случаем более общей теории автоморфных форм, которые представляют собой функции, определенные на группах Ли, преобразующиеся относительно действия определенных дискретных подгрупп, обобщая пример модульной группы. Термин "модульная форма" как систематическое описание обычно приписывается Гекке. Каждая модульная форма связана с представлением Галуа.

В виде секций пучка линий

Модульные формы также могут быть интерпретированы как сечения определенного линейного расслоения на модульных многообразиях. Модульная форма уровня и веса может быть определена как элемент, где – каноническое линейное расслоение на модульной кривой. Размеры этих пространств модульных форм могут быть вычислены с использованием теоремы Римана — Роха. Классические модульные формы для являются сечениями линейного расслоения на стеке модулей эллиптических кривых.

Модульная функция

Модульная функция — это функция, инвариантная относительно модульной группы, но без требования, чтобы f(z) была голоморфной в верхней полуплоскости (среди прочих условий). Вместо этого модульные функции мероморфны: они голоморфны на дополнении множества изолированных точек, являющихся полюсами функции.

Модульные формы для более общих групп

Функциональное уравнение, то есть поведение функции f относительно данного преобразования, можно ослабить, требуя его выполнения лишь для матриц из меньших групп.

Определение

Модульная форма для G веса k — это функция на H, удовлетворяющая вышеуказанному функциональному уравнению для всех матриц в G, голоморфная на H и во всех куспидах G. Модульные формы, обращающиеся в нуль во всех куспидах, называются куспидальными формами для G. Векторные пространства над C модульных и куспидальных форм веса k обозначаются Mk(G) и Sk(G) соответственно. Аналогично, мероморфная функция на G\H* называется модульной функцией для G. В случае G = Γ0(N) они также называются модульными/куспидальными формами и функциями уровня N. Для , это возвращает вышеупомянутые определения.

Последствия

Теория поверхностей Римана может быть применена к G\H∗ для получения дополнительной информации о модульных формах и функциях. Например, пространства Mk(G) и Sk(G) являются конечномерными, и их размерности могут быть вычислены с помощью теоремы Римана — Роха, исходя из геометрии действия G на H. Например,

где обозначает функцию взятия целой части, а — четное число. Модульные функции образуют поле функций на поверхности Римана и, следовательно, образуют поле трансцендентности степени один (над C). Если модульная функция f не тождественно равна 0, то можно показать, что число нулей f равно числу полюсов f в замыкании фундаментальной области RΓ. Можно показать, что поле модулярных функций уровня N (N ≥ 1) порождается функциями j(z) и j(Nz).

Линейные пучки

Ситуацию можно выгодно сравнить с той, что возникает при поиске функций на проективном пространстве P(V): в этом случае, в идеале, хотелось бы иметь функции F на векторном пространстве V, которые были бы полиномиальными по координатам v ≠ 0 в V и удовлетворяли уравнению F(cv) = F(v) для всех ненулевых c. К сожалению, единственными такими функциями являются константы. Если мы допустим знаменатели (то есть рациональные функции вместо многочленов), мы можем определить F как отношение двух однородных многочленов одинаковой степени. Альтернативно, мы можем остаться при полиномах и ослабить зависимость от c, полагая F(cv) = ckF(v). Тогда решениями будут однородные многочлены степени k. С одной стороны, они образуют конечномерное векторное пространство для каждого k, а с другой – если позволить k меняться, мы можем найти числители и знаменатели для построения всех рациональных функций, которые действительно являются функциями на лежащем в основе проективном пространстве P(V). Можно спросить, если однородные многочлены на самом деле не являются функциями на P(V), то что они собой представляют с геометрической точки зрения? Алгебро-геометрический ответ заключается в том, что они являются сечениями пучка (в данном случае можно также сказать линейного расслоения). Ситуация с модулярными формами является точно аналогичной. Модулярные формы также можно эффективно изучать с этой геометрической точки зрения, как сечения линейных расслоений на пространстве модулей эллиптических кривых.

Кольца модульных форм

Для подгруппы Γ группы SL(2, ℤ) кольцо модульных форм является градуированным кольцом, порожденным модульными формами Γ. Иными словами, если Mk(Γ) обозначает кольцо модульных форм веса k, то кольцо модульных форм Γ является градуированным кольцом. Кольца модульных форм конгруэнтных подгрупп SL(2, ℤ) конечно порождены, согласно результату Пьера Делиня и Майкла Рапопорта. Такие кольца модульных форм порождаются формами веса не более 6, а определяющие соотношения порождаются формами веса не более 12, если конгруэнтная подгруппа содержит модульные формы нечетного веса, отличного от нуля. В противном случае соответствующие границы равны 5 и 10. В более общем случае существуют формулы для определения границ весов генераторов кольца модульных форм и его соотношений для произвольных групп Фукса.

Целые формы

Если функция f голоморфна в точке перегиба (не имеет полюса при q = 0), она называется целой модулярной формой. Если f мероморфна, но не голоморфна в точке перегиба, она называется нецелой модулярной формой. Например, инвариант j является нецелой модулярной формой веса 0 и имеет простой полюс в i∞.

Новые формы

Новые формы — это подпространство модульных форм фиксированного уровня, которое нельзя построить из модульных форм более низких уровней. Остальные формы называются старыми формами. Эти старые формы можно построить, используя следующие соображения: если , то , что даёт обратное включение модульных форм.

Формы для косточек

Форма с вершиной — это модульная форма с нулевым постоянным коэффициентом в ее ряду Фурье. Она называется формой с вершиной, поскольку форма обращается в нуль во всех куспидах.