Программа Лангландса: Связь теории чисел и геометрии.

Введение

Глубокие предположения, связывающие теорию чисел и геометрию

В теории представлений и алгебраической теории чисел программа Лэнгландса представляет собой сеть далеко идущих и значительных предположений о связях между теорией чисел и геометрией. Предложенная [имя], она стремится установить связь между группами Галуа в алгебраической теории чисел, автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Широко признанная как крупнейший проект в современных математических исследованиях, программа Лэнгландса была описана Эдвардом Френкелем как «своеобразная великая объединяющая теория математики». Программа Лэнгландса состоит из весьма сложных теоретических абстракций, которые могут быть трудны для понимания даже для специалистов-математиков. Если упростить, то фундаментальная лемма проекта постулирует прямую связь между обобщенным фундаментальным представлением конечного поля и его групповым расширением на автоморфные формы, относительно которых оно инвариантно. Это достигается посредством абстракции к многомерному интегрированию, через эквивалентность определенной аналитической группе как абсолютного расширения ее алгебры. Как следствие, это позволяет аналитически построить мощные преобразования инвариантности для числового поля к его собственной алгебраической структуре. Смысл такой конструкции нюансирован, но ее конкретные решения и обобщения весьма эффективны. Последствия для доказательства существования таких теоретических объектов подразумевают аналитический метод построения категориального отображения фундаментальных структур практически для любого числового поля. В качестве аналогии возможному точному распределению простых чисел, программа Лэнгландса предоставляет потенциальный общий инструмент для разрешения инвариантности на уровне обобщенных алгебраических структур. Это, в свою очередь, позволяет проводить несколько унифицированный анализ арифметических объектов через их автоморфные функции. Проще говоря, философия Лэнгландса позволяет проводить общий анализ структурирования абстракций чисел. Естественно, это описание одновременно является упрощением и чрезмерным обобщением основных теорем программы, но эти математические аналогии обеспечивают основу ее концептуализации.

In representation theory and algebraic number theory, the Langlands program is a web of far reaching and consequential conjectures about connections between number theory and geometry. Proposed by , it seeks to relate Galois groups in algebraic number theory to automorphic forms and representation theory of algebraic groups over local fields and adeles. Widely seen as the single biggest project in modern mathematical research, the Langlands program has been described by Edward Frenkel as "a kind of grand unified theory of mathematics." The Langlands program consists of some very complicated theoretical abstractions, which can be difficult even for specialist mathematicians to grasp. To oversimplify, the fundamental lemma of the project posits a direct connection between the generalized fundamental representation of a finite field with its group extension to the automorphic forms under which it is invariant. This is accomplished through abstraction to higher dimensional integration, by an equivalence to a certain analytical group as an absolute extension of its algebra. Consequently, this allows an analytical functional construction of powerful invariance transformations for a number field to its own algebraic structure. The meaning of such a construction is nuanced, but its specific solutions and generalizations are very powerful. The consequence for proof of existence to such theoretical objects implies an analytical method in constructing the categoric mapping of fundamental structures for virtually any number field. As an analogue to the possible exact distribution of primes, the Langlands program allows a potential general tool for the resolution of invariance at the level of generalized algebraic structures. This in turn permits a somewhat unified analysis of arithmetic objects through their automorphic functions. Simply put, the Langlands philosophy allows a general analysis of structuring the abstractions of numbers. Naturally, this description is at once a reduction and over generalization of the program's proper theorems, but these mathematical analogues provide the basis of its conceptualization.

Предыстория

В очень широком контексте программа опиралась на существующие идеи: философию куспидальных форм, сформулированную несколькими годами ранее Харишем Чандрой и, работы и подход Хариша Чандры к полупростым группам Ли, а в техническом плане – трассовую формулу Сельберга и других. Помимо технической глубины, принципиально новым в работе Лэнгландса было предложенное прямое соединение с теорией чисел, наряду с гипотетической богатой организационной структурой (так называемой функториальностью). Например, в работах Хариша Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что возможно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, следует сделать для всех. Поэтому, как только была установлена роль некоторых низкоразмерных групп Ли, таких как GL(2), в теории модульных форм, и, оглядываясь назад, GL(1) в теории классовых полей, открылась возможность, по крайней мере, для рассуждений о GL(n) при общем n > 2. Идея куспидальной формы возникла из куспидов на модульных кривых, но также имела смысл, проявляющийся в спектральной теории как «дискретный спектр», в отличие от «непрерывного спектра», связанного с рядом Эйзенштейна. Это становится значительно сложнее для больших групп Ли, поскольку число параболических подгрупп возрастает. Во всех этих подходах не испытывали недостатка в технических методах, часто индуктивного характера и основанных, в частности, на разложениях Леви, но область исследований была и остается весьма требовательной. Кроме того, в области модульных форм существовали примеры, такие как модульные формы Гильберта, модульные формы Зигеля и тета-функции.

Предположения

Существует несколько различных способов формулировки гипотез Лэнгленда, которые тесно связаны между собой, но не очевидно эквивалентны.

Взаимность

Отправной точкой программы можно считать закон взаимности Эмиля Артина, который обобщает закон квадратичной взаимности. Закон взаимности Артина применим к галуасовому расширению алгебраического числового поля, группа Галуа которого абелева; он сопоставляет L-функции одномерным представлениям этой группы Галуа и утверждает, что эти L-функции идентичны определенным рядам L Дирихле или более общим рядам (то есть определенным аналогам дзета-функции Римана), построенным из символов Гекке. Точное соответствие между этими различными типами L-функций составляет закон взаимности Артина. Для неабелевых групп Галуа и их более высоких по размерности представлений можно все еще определять L-функции естественным образом: L-функции Артина. Идея Лэнгландса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение рядов L Дирихле, которое позволило бы сформулировать утверждение Артина в этой более общей обстановке. Ранее Гекке связал ряды L Дирихле с автоморфными формами (голоморфными функциями на верхней полуплоскости (комплексных чисел), удовлетворяющими определенным функциональным уравнениям). Затем Лэнгландс обобщил их до автоморфных куспидальных представлений, которые являются определенными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL(n) над аделевым кольцом (рациональных чисел). (Это кольцо одновременно отслеживает все завершения, см. p-адические числа.) Лэнгландс привязал автоморфные L-функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L-функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля, равна той, которая возникает из автоморфного куспидального представления. Это известно как его «гипотеза о взаимности». Грубо говоря, гипотеза о взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из группы Лэнгландса в L-группу. Существует множество вариаций этого, отчасти потому, что определения группы Лэнгландса и L-группы не являются фиксированными. Ожидается, что в локальных полях это даст параметризацию L-пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над действительными числами это соответствие представляет собой классификацию Лэнгландса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальными полями она должна давать параметризацию автоморфных форм.

The starting point of the program may be seen as Emil Artin's reciprocity law, which generalizes quadratic reciprocity. The Artin reciprocity law applies to a Galois extension of an algebraic number field whose Galois group is abelian; it assigns L functions to the one dimensional representations of this Galois group, and states that these L functions are identical to certain Dirichlet L series or more general series (that is, certain analogues of the Riemann zeta function) constructed from Hecke characters. The precise correspondence between these different kinds of L functions constitutes Artin's reciprocity law. For non abelian Galois groups and higher dimensional representations of them, one can still define L functions in a natural way: Artin L functions. The insight of Langlands was to find the proper generalization of Dirichlet L functions, which would allow the formulation of Artin's statement in this more general setting. Hecke had earlier related Dirichlet L functions with automorphic forms (holomorphic functions on the upper half plane of (the complex numbers) that satisfy certain functional equations). Langlands then generalized these to automorphic cuspidal representations, which are certain infinite dimensional irreducible representations of the general linear group GL(n) over the adele ring of (the rational numbers). (This ring simultaneously keeps track of all the completions of see p adic numbers.) Langlands attached automorphic L functions to these automorphic representations, and conjectured that every Artin L function arising from a finite dimensional representation of the Galois group of a number field is equal to one arising from an automorphic cuspidal representation. This is known as his "reciprocity conjecture". Roughly speaking, the reciprocity conjecture gives a correspondence between automorphic representations of a reductive group and homomorphisms from a Langlands group to an L group. There are numerous variations of this, in part because the definitions of Langlands group and L group are not fixed. Over local fields this is expected to give a parameterization of L packets of admissible irreducible representations of a reductive group over the local field. For example, over the real numbers, this correspondence is the Langlands classification of representations of real reductive groups. Over global fields, it should give a parameterization of automorphic forms.

Функциональность

Предположение о функциональности утверждает, что подходящий гомоморфизм L-групп должен устанавливать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Говоря упрощенно, гипотеза взаимности Лэнгленда является частным случаем предположения о функциональности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщенная функциональность

Лэнгландс обобщил идею функциональности: вместо использования общей линейной группы GL(n) могут использоваться другие связные редуктивные группы. Более того, для такой группы G, Лэнгландс конструирует двойственную группу Лэнгленда LG, и затем, для каждого автоморфного куспидального представления G и каждого конечномерного представления LG, он определяет L-функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L-функции удовлетворяют определенному функциональному уравнению, обобщающему функциональные уравнения других известных L-функций. Затем он формулирует очень общий "принцип функциональности". Для двух редуктивных групп и (хорошо определенного) морфизма между их соответствующими L-группами, эта гипотеза связывает их автоморфные представления способом, согласованном с их L-функциями. Эта гипотеза функциональности подразумевает все остальные гипотезы, представленные ранее. Она носит характер построения индуцированного представления – то, что в более традиционной теории автоморфных форм называлось "подъемом", известным в частных случаях, и поэтому является ковариантным (в то время как ограничение представления является контравариантным). Попытки указать прямое построение привели лишь к некоторым условным результатам. Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо: алгебраических числовых полей (исходный и наиболее важный случай), локальных полей и полей функций (конечных расширений Fp(t), где p – простое число, а Fp(t) – поле рациональных функций над конечным полем из p элементов).

Геометрические гипотезы

Так называемая геометрическая программа Лэнгленда, предложенная Жераром Лаумоном, основываясь на идеях Владимира Дринфельда, возникает как геометрическая переформулировка обычной программы Лэнгленда, стремящаяся установить связь не только между неприводимыми представлениями. В простых случаях она связывает l-адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории l-адических пучков на модульном стеке векторных расслоений над кривой.

Текущий статус

Гипотезы Лэнгленда для GL(1, K) следуют из (и по существу эквивалентны) теории полей классов. Лэнгландс доказал гипотезы Лэнгленда для групп над архимедовыми локальными полями (действительными числами) и (комплексными числами), предоставив классификацию Лэнгленда их неприводимых представлений. Классификация Люстига неприводимых представлений групп типа Ли над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Лэнгленда для конечных полей. Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами, полученное Эндрю Уайлсом, можно рассматривать как частный случай гипотезы взаимности Лэнгленда, поскольку основная идея состоит в установлении связи между представлениями Галуа, возникающими из эллиптических кривых, и модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих различных направлениях, полная гипотеза Лэнгленда остаётся недоказанной. В 1998 году Лоран Лафорг доказал теорему Лафорга, подтверждающую гипотезы Лэнгленда для общей линейной группы GL(n, K) над полями функций K. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал случай GL(2, K) в 1980-х годах. В 2018 году Винсент Лафорг установил глобальную корреспонденцию Лэнгленда (направление от автоморфных форм к представлениям Галуа) для связных редуктивных групп над глобальными полями функций.

Локальные предположения Лэнгленда

доказал локальные гипотезы Лэнгленда для общей линейной группы GL(2, K) над локальными полями. доказал локальные гипотезы Лэнгленда для общей линейной группы GL(n, K) для локальных полей K положительной характеристики. Их доказательство использует глобальный аргумент. доказал локальные гипотезы Лэнгленда для общей линейной группы GL(n, K) для локальных полей K характеристики 0. дал другое доказательство. В обоих доказательствах используется глобальный аргумент. Дал еще одно доказательство.

Основная лемма

В 2008 году Нго Бао Чжу доказал "фундаментальную лемму", которая была первоначально предложена Лэнгландсом и Шелстадом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в рамках программы Лэнгландса.

Последствия

Для обычного читателя или даже неспециализированного математика абстракции в рамках программы Лэнгленда могут быть довольно сложны для понимания. Однако существуют чёткие и весомые следствия, касающиеся доказательства или опровержения фундаментальных гипотез Лэнгленда. Поскольку программа постулирует мощную связь между аналитической теорией чисел и обобщениями алгебраической геометрии, идея "функциональности" между абстрактными алгебраическими представлениями полей чисел и их аналитическими конструкциями простых чисел приводит к созданию мощных функциональных инструментов, позволяющих точно количественно оценить распределение простых чисел. Это, в свою очередь, даёт возможность классифицировать диофантовы уравнения и проводить дальнейшие абстракции алгебраических функций. Более того, если взаимность таких обобщённых алгебр для постулируемых объектов существует, и если их аналитические функции можно определить однозначно, то некоторые очень глубокие результаты в математике могут оказаться доступными для доказательства. К таким примерам относятся: рациональные решения эллиптических кривых, топологическое построение алгебраических многообразий и знаменитая гипотеза Римана. Ожидается, что такие доказательства будут опираться на абстрактные решения в объектах обобщённых аналитических рядов, каждый из которых связан с инвариантностью в структурах полей чисел. Кроме того, были установлены некоторые связи между программой Лэнгленда и M-теорией, поскольку их дуальности связаны нетривиальным образом, предоставляя потенциальные точные решения в теории суперструн (как это было сделано в теории групп посредством «чудовищного лунного света»). Проще говоря, проект Лэнгленда подразумевает глубокую и мощную структуру решений, охватывающую самые фундаментальные области математики посредством обобщений высокого порядка в точных решениях алгебраических уравнений с аналитическими функциями, встроенными в геометрические формы. Это позволяет объединить многие отдалённые математические области в формализм мощных аналитических методов.