Квантовая хромодинамика на решетке

Введение

Решетчатая КХД – это хорошо зарекомендовавший себя непертурбативный подход к решению теории квантовой хромодинамики (КХД) кварков и глюонов. Это решётчатая калибровочная теория, сформулированная на сетке или решетке точек в пространстве и времени. При стремлении размера решетки к бесконечности и уменьшении расстояния между её узлами до бесконечно малого, восстанавливается континуальная КХД. Аналитические или пертурбативные решения в низкоэнергетической КХД затруднены или невозможны из-за высоко нелинейного характера сильного взаимодействия и большой константы связи при низких энергиях. Данная формулировка КХД в дискретном, а не непрерывном пространстве-времени, естественным образом вводит обрезание по импульсу порядка 1/a, где a – расстояние между узлами решетки, что регуляризует теорию. В результате, решетчатая КХД математически корректно определена. Наиболее важно, что решетчатая КХД предоставляет основу для исследования непертурбативных явлений, таких как конфайнмент и образование кварк-глюонной плазмы, которые недоступны для исследования аналитическими теориями поля. В решетчатой КХД поля, представляющие кварки, определяются в узлах решетки (что приводит к удвоению фермионов), в то время как поля глюонов определяются на связях, соединяющих соседние узлы. Это приближение стремится к континуальной КХД при уменьшении расстояния между узлами решетки до нуля. Поскольку вычислительная стоимость численного моделирования может резко возрастать при уменьшении интервала решетки, результаты часто экстраполируются к a = 0 путем повторных расчетов при различных интервалах решетки a, достаточно больших для обеспечения вычислительной реализуемости. Численные расчеты в решетчатой КХД с использованием методов Монте-Карло могут быть чрезвычайно ресурсоемкими, требуя использования самых мощных доступных суперкомпьютеров. Для снижения вычислительной нагрузки можно использовать так называемое гашенное приближение, в котором кварковые поля рассматриваются как нединамические "замороженные" переменные. Хотя это было распространено в ранних расчетах решетчатой КХД, "динамические" фермионы теперь являются стандартными. Эти моделирования обычно используют алгоритмы, основанные на молекулярной динамике или алгоритмах микроканонического ансамбля. В настоящее время решетчатая КХД в основном применима при низких плотностях, где численная проблема знака не мешает расчетам. Методы Монте-Карло свободны от проблемы знака при применении к КХД с калибровочной группой SU(2) (QC2D). Решетчатая КХД уже успешно согласуется со многими экспериментами. Например, масса протона была определена теоретически с точностью менее 2 процентов. Решетчатая КХД предсказывает, что переход от конфайнмента кварков к кварк-глюонной плазме происходит при температуре около 150 (1.7e12), что соответствует диапазону экспериментальных измерений. Решетчатая КХД также используется в качестве эталона для высокопроизводительных вычислений, подход, первоначально разработанный в контексте суперкомпьютера IBM Blue Gene.

Lattice QCD is a well established non perturbative approach to solving the quantum chromodynamics (QCD) theory of quarks and gluons. It is a lattice gauge theory formulated on a grid or lattice of points in space and time. When the size of the lattice is taken infinitely large and its sites infinitesimally close to each other, the continuum QCD is recovered. Analytic or perturbative solutions in low energy QCD are hard or impossible to obtain due to the highly nonlinear nature of the strong force and the large coupling constant at low energies. This formulation of QCD in discrete rather than continuous spacetime naturally introduces a momentum cut off at the order 1/a, where a is the lattice spacing, which regularizes the theory. As a result, lattice QCD is mathematically well defined. Most importantly, lattice QCD provides a framework for investigation of non perturbative phenomena such as confinement and quark–gluon plasma formation, which are intractable by means of analytic field theories. In lattice QCD, fields representing quarks are defined at lattice sites (which leads to fermion doubling), while the gluon fields are defined on the links connecting neighboring sites. This approximation approaches continuum QCD as the spacing between lattice sites is reduced to zero. Because the computational cost of numerical simulations can increase dramatically as the lattice spacing decreases, results are often extrapolated to a = 0 by repeated calculations at different lattice spacings a that are large enough to be tractable. Numerical lattice QCD calculations using Monte Carlo methods can be extremely computationally intensive, requiring the use of the largest available supercomputers. To reduce the computational burden, the so called quenched approximation can be used, in which the quark fields are treated as non dynamic "frozen" variables. While this was common in early lattice QCD calculations, "dynamical" fermions are now standard. These simulations typically utilize algorithms based upon molecular dynamics or microcanonical ensemble algorithms. At present, lattice QCD is primarily applicable at low densities where the numerical sign problem does not interfere with calculations. Monte Carlo methods are free from the sign problem when applied to the case of QCD with gauge group SU(2) (QC2D). Lattice QCD has already successfully agreed with many experiments. For example, the mass of the proton has been determined theoretically with an error of less than 2 percent. Lattice QCD predicts that the transition from confined quarks to quark–gluon plasma occurs around a temperature of 150 (1.7e12), within the range of experimental measurements. Lattice QCD has also been used as a benchmark for high performance computing, an approach originally developed in the context of the IBM Blue Gene supercomputer.

Моделирование Монте-Карло

Монте-Карло — это метод псевдослучайной выборки большого пространства переменных. Метод значимости, используемый для выбора калибровочных конфигураций в моделировании Монте-Карло, обуславливает использование евклидова времени посредством преобразования Вика пространства-времени. В решётчатых вычислениях Монте-Карло целью является расчёт корреляционных функций. Это достигается путём явного вычисления действия, используя конфигурации полей, которые выбираются в соответствии с функцией распределения, зависящей от действия и полей. Обычно начинают с вычисления калибровочных конфигураций, используя часть действия, описывающую калибровочные бозоны и взаимодействие калибровочных фермионов, а затем используют смоделированные калибровочные конфигурации для расчёта адронных пропагаторов и корреляционных функций.

Фермионы на решетке

ККД на решетке – это способ точного решения теории из первых принципов, без каких-либо допущений, с требуемой точностью. Однако на практике вычислительные мощности ограничены, что требует эффективного использования доступных ресурсов. Необходимо выбрать действие, которое обеспечивает наилучшее физическое описание системы с минимальными ошибками, используя имеющиеся вычислительные возможности. Ограниченность компьютерных ресурсов вынуждает использовать приближенные физические константы, отличающиеся от их истинных значений: дискретизация решетки означает аппроксимацию непрерывного и бесконечного пространства-времени конечным шагом и размером решетки. Чем меньше решетка и чем больше расстояние между узлами, тем больше ошибка. Ограниченные ресурсы обычно приводят к использованию физических решеток меньшего размера и большего шага, чем желательно, что ведет к ошибкам, превышающим желаемые. Массы кварков также аппроксимируются. Значения масс кварков больше, чем измеряется экспериментально. Они постепенно приближаются к своим физическим значениям, и за последние несколько лет несколько коллабораций использовали значения, близкие к физическим, для экстраполяции к физическим значениям.