Введение

В математической логике алгебра Линденбаума — Тарского (или алгебра Линденбаума) логической теории T состоит из классов эквивалентности предложений этой теории (то есть фактор-алгебры, относительно отношения эквивалентности ~, определяемого так, что p ~ q тогда и только тогда, когда p и q доказуемо эквивалентны в T). Иными словами, два предложения эквивалентны, если теория T доказывает, что каждое из них влечёт другое. Таким образом, алгебра Линденбаума — Тарского является фактор-алгеброй, полученной путём факторизации алгебры формул по этому отношению конгруэнтности. Алгебра названа в честь логиков Адольфа Линденбаума и Альфреда Тарского. Начиная с 1926–1927 учебного года, Линденбаум впервые применил свой метод в семинаре по математической логике Яна Лукашевича, а метод был популяризирован и обобщён в последующие десятилетия благодаря работам Тарского. Алгебра Линденбаума — Тарского считается источником современной алгебраической логики.

Операции

Операции в алгебре Линденбаума — Тарского A унаследованы из операций в базовой теории T. Обычно они включают конъюнкцию и дизъюнкцию, которые корректно определены на классах эквивалентности. Если в T также присутствует отрицание, то A является булевой алгеброй, при условии, что используется классическая логика. Если теория T состоит из пропозициональных тавтологий, то алгебра Линденбаума — Тарского является свободной булевой алгеброй, порожденной пропозициональными переменными.

Связанные алгебры

Алгебры Хейтинга и внутренние алгебры являются алгебрами Линденбаума–Тарского для интуиционистской логики и модальной логики S4 соответственно. Логика, для которой применим метод Тарского, называется алгебраизуемой. Однако существует ряд логик, для которых это неверно, например, модальные логики S1, S2 или S3, которым не хватает правила необходимости (из ⊢φ следует ⊢□φ), поэтому ~ (определённое выше) не является конгруэнцией (поскольку из ⊢φ→ψ не следует ⊢□φ→□ψ). Другой тип логик, для которых метод Тарского неприменим, – это релевантные логики, поскольку для двух теорем импликация из одной к другой может сама по себе не быть теоремой в релевантной логике. Изучение процесса алгебраизации (и соответствующего понятия) как самостоятельной области интереса, не обязательно с использованием метода Тарского, привело к развитию абстрактной алгебраической логики.