Введение
Функция в математической теории чисел
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
В теории чисел, ветви математики, функция Кармайкла λ(n) положительного целого числа n является наименьшим элементом множества положительных целых чисел m, обладающим свойством, что
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
выполняется для каждого целого числа a, взаимно простого с n. В алгебраических терминах, λ(n) является показателем мультипликативной группы вычетов по модулю n. Поскольку это конечная абелева группа, должен существовать элемент, порядок которого равен показателю, то есть λ(n). Такой элемент называется примитивным корнем λ по модулю n.
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
Функция Кармайкла названа в честь американского математика Роберта Кармайкла, определившего её в 1910 году. Она также известна как λ-функция Кармайкла, редуцированная функция Эйлера и наименьшая универсальная функция показателя. Следующая таблица сравнивает первые 36 значений λ(n) с функцией Эйлера φ (выделены жирным шрифтом, если они различны; значения n, для которых они различны, указаны в скобках).
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6
φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
Численные примеры
Функция Кармайкла в 5 равна 4, поскольку для любого числа, взаимно простого с 5, то есть существует такое , что а именно, , , и . И это наименьший показатель, обладающий этим свойством, потому что (и также). Кроме того, функция Эйлера при 5 равна 4, поскольку существует ровно 4 числа меньше 5 и взаимно простых с ним (1, 2, 3 и 4). Теорема Эйлера утверждает, что a⁴ ≡ 1 (mod 5) для всех a, взаимно простых с 5, и 4 является наименьшим таким показателем. И 2, и 3 являются примитивными корнями λ по модулю 5, а также примитивными корнями по модулю 5. Функция Кармайкла при 8 равна 2, поскольку для любого числа a, взаимно простого с 8, выполняется a² ≡ 1 (mod 8). А именно, , , и функция Эйлера при 8 равна 4, поскольку существует ровно 4 числа меньше 8 и взаимно простых с ним (1, 3, 5 и 7). Более того, теорема Эйлера утверждает, что a⁴ ≡ 1 (mod 8) для всех a, взаимно простых с 8, но 4 не является наименьшим таким показателем. Примитивные корни λ по модулю 8 — 3, 5 и 7. Примитивных корней по модулю 8 не существует.
Теоремы Кармайкла
Кармайкл доказал две теоремы, которые вместе устанавливают, что если λ(n) определяется рекуррентным соотношением из предыдущего раздела, то оно удовлетворяет свойству, указанному во введении, а именно, что это наименьшее положительное целое число m, такое, что для всех a, взаимно простых с n. Это подразумевает, что порядок каждого элемента мультипликативной группы целых чисел по модулю n делит λ(n). Кармайкл называет элемент a, для которого a^m ≡ 1 (mod n) при наименьшем возможном m, примитивным корнем λ по модулю n. (Это не следует путать с примитивным корнем по модулю n, который Кармайкл иногда называет просто примитивным корнем.) Если g – один из примитивных корней λ, гарантированных теоремой, то уравнение a^m ≡ 1 (mod n) не имеет положительных целочисленных решений m, меньших, чем λ(n), что показывает, что не существует положительного m < λ(n), такого, что a^m ≡ 1 (mod n) для всех a, взаимно простых с n. Второе утверждение теоремы 2 не подразумевает, что все примитивные корни λ по модулю n сравнимы со степенями одного корня g. Например, если n = 15, то λ(15) = 4, и существуют четыре примитивных корня λ по модулю 15, а именно 2, 7, 8 и 13. Корни 2 и 8 сравнимы со степенями друг друга, и корни 7 и 13 сравнимы со степенями друг друга, но ни 7, ни 13 не сравнимы со степенью 2 или 8, и наоборот. Другие четыре элемента мультипликативной группы по модулю 15, а именно 1, 4 (который удовлетворяет 4^2 ≡ 1 (mod 15)), 11 и 14, не являются примитивными корнями λ по модулю 15. В качестве контрастного примера, если n = 9, то λ(9) = 6, и существуют два примитивных корня λ по модулю 9, а именно 2 и 5, каждый из которых является пятой степенью другого. Они также оба являются примитивными корнями по модулю 9.
This implies that the order of every element of the multiplicative group of integers modulo n divides λ(n). Carmichael calls an element a for which is the least power of a congruent to 1 (mod n) a primitive λ root modulo n. (This is not to be confused with a primitive root modulo n, which Carmichael sometimes refers to as a primitive root modulo n.)
If g is one of the primitive λ roots guaranteed by the theorem, then has no positive integer solutions m less than λ(n), showing that there is no positive m < λ(n) such that for all a relatively prime to n.
The second statement of Theorem 2 does not imply that all primitive λ roots modulo n are congruent to powers of a single root g. For example, if , then while and There are four primitive λ roots modulo 15, namely 2, 7, 8, and 13 as The roots 2 and 8 are congruent to powers of each other and the roots 7 and 13 are congruent to powers of each other, but neither 7 nor 13 is congruent to a power of 2 or 8 and vice versa. The other four elements of the multiplicative group modulo 15, namely 1, 4 (which satisfies ), 11, and 14, are not primitive λ roots modulo 15. For a contrasting example, if , then and There are two primitive λ roots modulo 9, namely 2 and 5, each of which is congruent to the fifth power of the other. They are also both primitive roots modulo 9.
Свойства функции Кармайкла
В этом разделе целое число *a* делится на ненулевое целое число *b*, если существует целое число *k* такое, что *a* = *b* *k*. Это записывается как *a* | *b*.
делится
Это следует из элементарной теории групп, поскольку показатель любой конечной группы должен делить порядок группы. λ(n) — это показатель мультипликативной группы вычетов по модулю n, а φ(n) — порядок этой группы. В частности, они должны быть равны в тех случаях, когда мультипликативная группа циклична благодаря существованию первообразного корня, что справедливо для нечетных простых степеней. Таким образом, теорему Кармайкла можно рассматривать как уточнение теоремы Эйлера.
Делительность
Доказательство. По определению, для любого целого числа k с (и, следовательно, также ), имеем , и, следовательно, это устанавливает, что для всех k, взаимно простых с a. По следствию из минимальности, доказанному выше, имеем .
Использование в криптографии
Функция Кармайкла важна в криптографии благодаря её применению в алгоритме шифрования RSA.