Кіріспе
Сандар теориясындағы функция
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
Сандар теориясы математиканың бір саласы ретінде, оң бүтін санның Кармайкл функциясы λ(n) – n-ге жақын сандар жиынының ең кіші мүшесі, мұндағы әрбір m үшін келесі шарт орындалады:
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
барлық n-ге жақын бүтін a үшін. Алгебралық тұрғыдан алғанда, λ(n) – n модулі бойынша бүтін сандардың көбейту тобының көрсеткіші. Бұл шекті абелдік топ болғандықтан, көрсеткішіне тең реті бар элемент болуы керек, яғни λ(n). Мұндай элемент λ түбірі деп аталады.
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
Кармайкл функциясы американдық математик Роберт Кармайклдің құрметіне аталған, ол оны 1910 жылы анықтаған. Ол сондай-ақ Кармайклдің λ функциясы, қысқартылған тотиент функциясы және ең кіші әмбебап көрсеткіш функциясы деп те аталады. Келесі кесте λ(n) функциясының алғашқы 36 мәнін Эйлердің тотиент функциясы φ-мен салыстырады (егер олар өзгеше болса, қалың шрифтпен; олар өзгеше болатын n мәндері тізімде көрсетілген).
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6
φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
In number theory, a branch of mathematics, the Carmichael function λ(n) of a positive integer n is the smallest member of the set of positive integers m having the property that
holds for every integer a coprime to n. In algebraic terms, λ(n) is the exponent of the multiplicative group of integers modulo n. As this is a finite abelian group, there must exist an element whose order equals the exponent, λ(n). Such an element is called a primitive λ root modulo n.
The Carmichael function is named after the American mathematician Robert Carmichael who defined it in 1910. It is also known as Carmichael's λ function, the reduced totient function, and the least universal exponent function. The following table compares the first 36 values of λ(n) with Euler's totient function φ (in bold if they are different; the ns such that they are different are listed in ). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12
Сандық мысалдар
Кармайкл функциясы 5-те 4-ке тең, себебі 5-ке өзімен жақын (coprime) болатын кез келген сан үшін, яғни, бар, атап айтқанда, 1, 2, 3 және 4, a^4 ≡ 1 (mod 5) теңдігі орындалады. Бұл – осы қасиетке ие ең кіші көрсеткіш, өйткені a^2 ≡ 1 (mod 5) (және a^1 ≡ 1 (mod 5) да). Сонымен қатар, 5-те Эйлердің тотиенттік функциясы 4-ке тең, себебі 5-тен кіші және 5-ке өзімен жақын болатын 4 сан бар (1, 2, 3 және 4). Эйлер теоремасы бойынша, a^4 ≡ 1 (mod 5) барлық 5-ке өзімен жақын болатын a үшін орындалады, ал 4 – осындай ең кіші көрсеткіш. 2 және 3 екеуі де 5 модулі бойынша алғашқы λ түбірлері және 5 модулі бойынша алғашқы түбірлер. Кармайкл функциясы 8-де 2-ге тең, себебі 8-ге өзімен жақын болатын кез келген a үшін, яғни, a^2 ≡ 1 (mod 8) теңдігі орындалады. Атап айтқанда, 1, 3, 5 және 7. Эйлердің тотиенттік функциясы 8-де 4-ке тең, себебі 8-ден кіші және 8-ге өзімен жақын болатын 4 сан бар (1, 3, 5 және 7). Сонымен қатар, Эйлер теоремасы бойынша, a^4 ≡ 1 (mod 8) барлық 8-ге өзімен жақын болатын a үшін орындалады, бірақ 4 – осындай ең кіші көрсеткіш емес. 8 модулі бойынша алғашқы λ түбірлері – 3, 5 және 7. 8 модулі бойынша алғашқы түбірлер жоқ.
Кармайкл теоремалары
Кармайкл екі теореманы дәлелдеді, олар бірге λ(n) алдыңғы бөлімде келтірілген рекурренттік формула бойынша анықталған жағдайда, ол кіріспеде айтылған қасиетті қанағаттандыратынын көрсетеді, атап айтқанда, ол барлық a-ға қатысты n-ге жақын сан ретіндегі ең кіші оң бүтін сан m болып табылады. Бұл бүтін сандардың көбейту тобының әрбір элементінің тәртібі λ(n)-ға бөлінеді дегенді білдіреді. Кармайкл, егер a, 1-ге конгруэнтті (mod n) болса, онда ол бастапқы λ түбірі модуль n деп атайды. (Бұл Кармайкл кейде бастапқы түбір модуль n деп атап кететін бастапқы түбір модуль n-мен шатастырылмауы керек.) Егер g теоремамен кепілдендірілген бастапқы λ түбірлерінің бірі болса, онда λ(n)-нан кіші оң бүтін сан m-нің шешімі жоқ, яғни барлық a үшін n-ге жақын алғашқы m < λ(n) жоқ екенін көрсетеді. Теорема 2-нің екінші тұжырымы барлық бастапқы λ түбірлері модуль n-дің бір түбір g-нің дәрежелеріне конгруэнтті екенін білдірмейді. Мысалы, егер , онда , ал және 15 модуль бойынша төрт бастапқы λ түбірі бар, атап айтқанда 2, 7, 8 және 13. Түбірлер 2 және 8 бір-бірінің дәрежелеріне конгруэнтті, ал түбірлер 7 және 13 бір-бірінің дәрежелеріне конгруэнтті, бірақ 7 немесе 13, 2 немесе 8-нің дәрежесіне конгруэнтті емес, және керісінше. 15 модуль бойынша көбейту тобының басқа төрт элементі, атап айтқанда 1, 4 (ол ), 11 және 14, 15 модуль бойынша бастапқы λ түбірлері емес. Қарсы мысал келтірсек, егер , онда және 9 модуль бойынша екі бастапқы λ түбірі бар, атап айтқанда 2 және 5, олардың әрқайсысы екіншісінің бесінші дәрежесіне конгруэнтті. Сонымен қатар, екеуі де 9 модуль бойынша бастапқы түбірлер болып табылады.
This implies that the order of every element of the multiplicative group of integers modulo n divides λ(n). Carmichael calls an element a for which is the least power of a congruent to 1 (mod n) a primitive λ root modulo n. (This is not to be confused with a primitive root modulo n, which Carmichael sometimes refers to as a primitive root modulo n.)
If g is one of the primitive λ roots guaranteed by the theorem, then has no positive integer solutions m less than λ(n), showing that there is no positive m < λ(n) such that for all a relatively prime to n.
The second statement of Theorem 2 does not imply that all primitive λ roots modulo n are congruent to powers of a single root g. For example, if , then while and There are four primitive λ roots modulo 15, namely 2, 7, 8, and 13 as The roots 2 and 8 are congruent to powers of each other and the roots 7 and 13 are congruent to powers of each other, but neither 7 nor 13 is congruent to a power of 2 or 8 and vice versa. The other four elements of the multiplicative group modulo 15, namely 1, 4 (which satisfies ), 11, and 14, are not primitive λ roots modulo 15. For a contrasting example, if , then and There are two primitive λ roots modulo 9, namely 2 and 5, each of which is congruent to the fifth power of the other. They are also both primitive roots modulo 9.
Кармайкл функциясының қасиеттері
Бұл бөлімде, егер бүтін санды нөлден өзге бүтін санға бөлуге болса, онда осы санды бөлу нәтижесінде бүтін сан шығады. Бұл былай жазылады:
бөлініп
Бұл элементарлық топтар теориясынан туындайды, себебі кез келген шекті топтың көрсеткіші топтың ретін бөлуі тиіс. λ(n) – n модуль бойынша бүтін сандардың көбейту тобының көрсеткіші, ал φ(n) – осы топтың реті. Атап айтқанда, көбейту тобы циклдік болған жағдайларда, яғни түпнұсқа тамырдың болуына байланысты, екеуі де тең болуы керек, және бұл тақ жай санның дәрежелері үшін орынды. Осылайша, біз Кармайкл теоремасын Эйлер теоремасының нақтылауы ретінде қарастыра аламыз.
Бөліну мүмкіндігі
Дәлел. Анықтама бойынша, кез келген бүтін сан үшін , егер (және де соның салдарынан) , онда , демек. Бұл барлық k үшін, a-ға өзімен ортақ бөлшегі жоқ сандар үшін орындалады. Жоғарыда дәлелденген минималдылық принципі бойынша, бізде .
Криптографияда қолдану
Кармайкл функциясы RSA шифрлау алгоритмінде қолданылуының арқасында криптографияда маңызды болып табылады.