Введение

Отношение между двумя числами одного и того же вида

В математике отношение ('/r//eɪ//ʃ//(//i//)//oʊ/) показывает, во сколько раз одно число больше другого. Например, если в вазе восемь апельсинов и шесть лимонов, то отношение апельсинов к лимонам составляет восемь к шести (то есть 8:6, что эквивалентно отношению 4:3). Аналогично, отношение лимонов к апельсинам составляет 6:8 (или 3:4), а отношение апельсинов к общему количеству фруктов – 8:14 (или 4:7). Числа в отношении могут представлять собой величины любого рода, такие как количество людей или предметов, или измерения длины, веса, времени и т.д. В большинстве случаев оба числа должны быть положительными. Отношение можно задать либо указанием обоих чисел, составляющих его, в виде "a к b" или "a:b", либо указанием только значения их частного. Равные частные соответствуют равным отношениям. Утверждение, выражающее равенство двух отношений, называется пропорцией. Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе, или как значение, представляемое этой дробью. Отношения, заданные (ненулевыми) натуральными числами, являются рациональными числами и иногда могут быть целыми числами. Более точное определение, принятое в естественных науках (особенно в метрологии), для отношения – это безразмерное отношение двух физических величин, измеренных в одних и тех же единицах. Отношение двух величин, измеренных в разных единицах, может называться отношением скоростей.

История и этимология

Можно проследить происхождение слова "ratio" в древнегреческом λόγος (логос). Ранние переводчики передавали это на латинский язык как wikt:ratio#Latin ("причина", как в слове "рациональный"). Более современная интерпретация смысла Евклида ближе к вычислению или исчислению. Средневековые авторы использовали слово proportio ("пропорция") для обозначения отношения, а proportionalitas ("пропорциональность") – для равенства отношений. Евклид собрал результаты, представленные в "Началах", из более ранних источников. Пифагорейцы разработали теорию отношения и пропорции, применимую к числам. Представление пифагорейцев о числе включало только то, что сегодня называется рациональными числами, что вызывает сомнения в обоснованности этой теории в геометрии, где, как обнаружили сами пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам). Открытие теории отношений, не предполагающей соизмеримости, вероятно, принадлежит Евдоксу из Книда. Изложение теории пропорций, представленное в Книге VII "Начал", отражает более раннюю теорию отношений соизмеримых величин. Существование нескольких теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с частными и их возможными значениями. Однако это сравнительно недавнее явление, о чем свидетельствует тот факт, что современные учебники геометрии по-прежнему используют различную терминологию и обозначения для отношений и частных. Причины этого двояки: во-первых, существовало упомянутое ранее нежелание признавать иррациональные числа истинными числами, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже устоявшейся терминологии отношений задержало полное принятие дробей в качестве альтернативы до XVI века.

Определения Евклида

В пятой книге "Начал" Евклида содержится 18 определений, все из которых относятся к отношениям. Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько распространены, что он не приводил для них определений. Первые два определения утверждают, что частью величины является другая величина, которая её "измеряет", и наоборот, кратным величины является другая величина, которую она измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное величины – это величина, умноженная на целое число, большее единицы, а часть величины (то есть аликвотная часть) – это часть, которая при умножении на целое число, большее единицы, дает исходную величину. Евклид не определяет термин "измеряет" в данном контексте, однако можно заключить, что если величина принимается за единицу измерения, а вторая величина выражается целым числом таких единиц, то первая величина измеряет вторую. Эти определения почти дословно повторяются в качестве определений 3 и 5 в седьмой книге. Определение 3 описывает, что такое отношение в общем смысле. Оно не является строгим с математической точки зрения, и некоторые считают, что оно принадлежит редакторам Евклида, а не самому Евклиду. Евклид определяет отношение как отношение между двумя величинами одного и того же рода, поэтому по этому определению определяются отношения двух длин или двух площадей, но не отношение длины и площади. Определение 4 делает это более точно. В нем говорится, что отношение двух величин существует, если для каждой из них найдется кратное, превышающее другую. В современной нотации отношение между величинами p и q существует, если существуют целые числа m и n такие, что mp > q и nq > p. Это условие известно как свойство Архимеда. Определение 5 – самое сложное и трудное. Оно определяет, что означает равенство двух отношений. Сегодня это можно сделать, просто указав, что отношения равны, когда равны их частные, но такое определение было бы бессмысленно для Евклида. В современной нотации определение Евклида равенства гласит, что для заданных величин p, q, r и s, p:q ∷ r:s тогда и только тогда, когда для любых положительных целых чисел m и n, np < mq, np = mq или np > mq в зависимости от того, как nr < ms, nr = ms или nr > ms, соответственно. Это определение имеет сходство с дедекиндовыми разрезами, поскольку при n и q, оба положительные, np относится к mq так же, как к рациональному числу (разделив оба члена на nq). Определение 6 утверждает, что величины, имеющие одинаковое отношение, пропорциональны или находятся в пропорции. Евклид использует греческое слово ἀναλόγον (аналогон), которое имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом "analog". Определение 7 определяет, что означает, когда одно отношение меньше или больше другого, и основывается на идеях, представленных в определении 5. В современной нотации это означает, что для заданных величин p, q, r и s, p:q > r:s, если существуют положительные целые числа m и n такие, что np > mq и nr ≤ ms. Как и в случае с определением 3, определение 8 некоторые считают более поздней вставкой редакторов Евклида. Оно определяет, что три члена p, q и r находятся в пропорции, когда p:q ∷ q:r. Это расширяется до четырех членов p, q, r и s как p:q ∷ q:r ∷ r:s и так далее. Последовательности, для которых отношение последовательных членов постоянно, называются геометрическими прогрессиями. Определения 9 и 10 применяют это, утверждая, что если p, q и r находятся в пропорции, то p:r является дублированным отношением p:q, а если p, q, r и s находятся в пропорции, то p:s является триплированным отношением p:q.

Количество терминов и использование дробей

В целом, сравнение количеств в отношении двух величин может быть выражено в виде дроби, полученной из этого отношения. Например, в отношении 2:3 количество, размер, объем или величина первой величины составляет 2/3 от количества, размера, объема или величины второй величины. Если есть 2 апельсина и 3 яблока, то отношение апельсинов к яблокам равно 2:3, а отношение апельсинов к общему количеству фруктов равно 2:5. Эти отношения также можно выразить в виде дробей: количество апельсинов составляет 2/3 от количества яблок, а апельсины составляют 2/5 от общего количества фруктов. Если концентрат апельсинового сока нужно разбавить водой в отношении 1:4, то одна часть концентрата смешивается с четырьмя частями воды, в результате получается пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 от количества воды, а количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 от общего объема жидкости. И в отношениях, и в дробях важно четко понимать, что сравнивается с чем, и начинающие часто допускают ошибки по этой причине. Дроби также можно вывести из отношений, включающих более двух величин; однако отношение, состоящее более чем из двух величин, нельзя полностью преобразовать в одну дробь, поскольку дробь может сравнивать только два количества. Для сравнения количеств любых двух величин, входящих в состав отношения, можно использовать отдельную дробь: например, из отношения 2:3:7 можно сделать вывод, что количество второй величины составляет 3/7 от количества третьей величины.

Пропорции и процентные коэффициенты

Если мы умножим все величины, участвующие в соотношении, на одно и то же число, само соотношение останется верным. Например, соотношение 3:2 эквивалентно 12:8. Обычно члены соотношения приводят к наименьшему общему знаменателю или выражают их в частях на сто (в процентах). Если смесь содержит вещества А, В, С и D в соотношении 5:9:4:2, это означает, что на каждые 9 частей В приходится 5 частей А, на каждые 4 части С – 4 части, а на каждые 2 части D – 2 части. Поскольку 5+9+4+2=20, общая смесь содержит 5/20 вещества А (5 частей из 20), 9/20 вещества В, 4/20 вещества С и 2/20 вещества D. Если разделить все числа на общую сумму и умножить на 100, мы получим проценты: 25% А, 45% В, 20% С и 10% D (что эквивалентно записи соотношения как 25:45:20:10). Если два или более значения в соотношении охватывают все количества в конкретной ситуации, говорят, что "целое" состоит из суммы частей: например, корзина с фруктами, содержащая два яблока и три апельсина, состоит из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, 2/5 или 40% целого – это яблоки, а 3/5 или 60% целого – это апельсины. Такое сравнение конкретного количества с "целым" называется пропорцией. Если соотношение состоит только из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности, в виде десятичной дроби. Например, старые телевизоры имели соотношение сторон 4:3, что означает, что ширина составляет 4/3 высоты (это также можно выразить как 1,33:1 или просто 1,33 с округлением до двух десятичных знаков). Более современные широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16:9, или 1,78 с округлением до двух десятичных знаков. Один из популярных широкоэкранных форматов фильмов – 2.35:1 или просто 2.35. Представление соотношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. Сравнивая 1.33, 1.78 и 2.35, очевидно, какой формат обеспечивает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, например, когда ширина всегда выражается относительно высоты.

Сокращение

Отношения можно упростить (как и дроби), разделив каждое значение на общие множители всех значений. Как и в случае с дробями, простейшей формой считается та, в которой числа в отношении являются наименьшими возможными целыми числами. Таким образом, отношение 40:60 эквивалентно отношению 2:3, которое получается из первого путем деления обоих значений на 20. Математически это записывается как 40:60 = 2:3, или, эквивалентно, 40:60 ∷ 2:3. Вербальный эквивалент: "40 относится к 60 так же, как 2 относится к 3". Отношение, состоящее из целых чисел и которое нельзя упростить далее (с использованием целых чисел), называется простейшей формой или несократимым отношением. Иногда полезно записывать отношение в виде 1:x или x:1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные отношения. Например, отношение 4:5 можно записать как 1:1,25 (разделив обе части на 4) или как 0,8:1 (разделив обе части на 5). Если контекст ясен, такое отношение иногда записывается без 1 и символа отношения (:), однако математически это превращает его в фактор или множитель.

Шансы

Шансы (как в азартных играх) выражаются отношением. Например, шансы "7 к 3 против" (7:3) означают, что событие не произойдет в семи случаях на каждые три случая, когда оно произойдет. Вероятность успеха составляет 30%. В среднем, из десяти попыток ожидается три выигрыша и семь проигрышей.

Единицы

Отношения могут быть безразмерными, если они выражают связь между величинами, измеренными в единицах одной и той же размерности, даже если изначально единицы измерения отличаются. Например, отношение 1 минута : 40 секунд можно упростить, переведя первую величину в 60 секунд, тогда отношение станет 60 секунд : 40 секунд. Когда единицы измерения совпадают, их можно опустить, и отношение упростится до 3:2. С другой стороны, существуют коэффициенты, не являющиеся безразмерными, также известные как скорости (иногда также как отношения). В химии, отношения концентраций по массе обычно выражаются в виде массовой/объемной доли. Например, концентрация 3% масс./объём означает 3 г вещества на каждые 100 мл раствора. Это нельзя привести к безразмерному отношению, такому как массовая/массовая или объемная/объемная доля.

Треугольные координаты

Расположение точек относительно треугольника с вершинами A, B и C и сторонами AB, BC и CA часто выражается в расширенной форме отношения в виде треугольных координат. В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ – это точка, на которой невесомый лист металла, имеющий форму и размер треугольника, точно сбалансируется, если на вершины поместить грузы, при этом отношение грузов в точках A и B будет равно α:β, отношение грузов в точках B и C – β:γ, а следовательно, отношение грузов в точках A и C – α:γ. В трилинейных координатах точка с координатами x:y:z характеризуется тем, что перпендикулярные расстояния до стороны BC (противоположной вершине A) и стороны CA (противоположной вершине B) находятся в отношении x:y, расстояния до стороны CA и стороны AB (противоположной вершине C) – в отношении y:z, а следовательно, расстояния до сторон BC и AB – в отношении x:z. Поскольку вся информация выражается через отношения (отдельные числа, обозначаемые α, β, γ, x, y и z, сами по себе не имеют значения), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применим независимо от размера треугольника.