Математикада қатынас – бір санның екінші санға қатысы. Мысалы, 8 апельсин мен 6 лимон болса, қатынас 8:6 немесе 4:3 болады. Есептеу, өлшемдерде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір түрлі екі санның арақатынасы
Relationship between two numbers of the same kind
Математикада арақатынас ('/r//eɪ//ʃ//(//i//)//oʊ/) бір санның екінші санды қанша рет қамтитынын көрсетеді. Мысалы, егер жеміс салат құрамында сегіз апельсин және алты лимон болса, апельсин мен лимонның арақатынасы сегіз бен алтыға тең (яғни 8:6, бұл 4:3 арақатынасына баламалы). Сол сияқты, лимон мен апельсиннің арақатынасы 6:8 (немесе 3:4) және апельсиннің жемістің жалпы санына қатынасы 8:14 (немесе 4:7) болады. Арақатынастағы сандар кез келген шамада болуы мүмкін, мысалы, адамдардың немесе заттардың саны, сондай-ақ ұзындық, салмақ, уақыт сияқты өлшемдер. Көп жағдайда екі сан да оң сан болып келеді. Арақатынас екі құраушы санды көрсету арқылы, "a-ға b" немесе "a:b" түрінде жазылуы мүмкін, немесе олардың бөліндісінің мәні арқылы белгіленуі мүмкін. Тең бөлінділер тең арақатынастарға сәйкес келеді. Екі арақатынастың теңдігін білдіретін мәлімдеме пропорция деп аталады. Осыған сәйкес, арақатынасты сандардың реттелген жұбы, бірінші санның алымында және екінші санның бөлімінде болатын бөлшек немесе осы бөлшектің мәні ретінде қарастыруға болады. Сандармен берілген (нөлдік емес) натурал сандардың арақатынастары рационал сандар болып табылады және кейде натурал сандар да болуы мүмкін. Физикалық ғылымдарда (әсіресе метрологияда) қабылданған нақтырақ анықтама – бұл бір өлшем бірлігімен өлшенген екі физикалық шама арасындағы өлшемсіз бөлінді. Әр түрлі өлшем бірліктерімен өлшенген екі шаманың бөліндісі мөлшер деп аталады.
In mathematics, a ratio ('/r//eɪ//ʃ//(//i//)//oʊ/) shows how many times one number contains another. For example, if there are eight oranges and six lemons in a bowl of fruit, then the ratio of oranges to lemons is eight to six (that is, 8:6, which is equivalent to the ratio 4:3). Similarly, the ratio of lemons to oranges is 6:8 (or 3:4) and the ratio of oranges to the total amount of fruit is 8:14 (or 4:7). The numbers in a ratio may be quantities of any kind, such as counts of people or objects, or such as measurements of lengths, weights, time, etc. In most contexts, both numbers are restricted to be positive. A ratio may be specified either by giving both constituting numbers, written as "a to b" or "a:b", or by giving just the value of their quotient Equal quotients correspond to equal ratios. A statement expressing the equality of two ratios is called a proportion. Consequently, a ratio may be considered as an ordered pair of numbers, a fraction with the first number in the numerator and the second in the denominator, or as the value denoted by this fraction. Ratios of counts, given by (non zero) natural numbers, are rational numbers, and may sometimes be natural numbers. A more specific definition adopted in physical sciences (especially in metrology) for ratio is the dimensionless quotient between two physical quantities measured with the same unit. A quotient of two quantities that are measured with different units may be called a rate.
Тарих және этимология
"Рацио" сөзінің шығу тегі көне грек тіліндегі λόγος (logos) сөзімен байланысты болуы мүмкін. Алғашқы аудармашылар бұл сөзді латын тілінде [[wikt:ratio#Latin ("ақыл"; "рационалды" сөзі сияқты) деп аударған. Евклидтің мағынасының қазіргі заманғы түсінігі есептеу немесе санауға жақын. Орта ғасыр авторлары қатынасты көрсету үшін пропорцио ("пропорция") сөзін, ал қатынастардың теңдігін көрсету үшін пропорционалитет ("пропорционалдылық") сөзін қолданған. Евклид "Элементтер" кітабындағы нәтижелерді ертерек көздерден жинақтаған. Пифагоршылар сандарға қатысты қатынас және пропорция теориясын дамытқан. Пифагоршылардың сан туралы ұғымына бүгінде рационалды сандар деп аталатын нәрселер ғана кірген, бұл геометриядағы теорияның дұрыстығына күмән келтірді, себебі Пифагоршылар сондай-ақ салыстырылмастан қатынастардың (рационалды емес сандарға сәйкес) бар екенін анықтаған. Теңестіруді қажет етпейтін қатынастар теориясын ашқан адам Книдтік Евдокс болған деп саналады. "Элементтер" кітабының VII бөлімінде баяндалған пропорциялар теориясы салыстырылатын шамалардың бұрынғы қатынастар теориясын көрсетеді. Көптеген теориялардың болуы артық күрделі болып көрінеді, өйткені қатынастар көбінесе бөлімдермен және олардың мүмкін болатын мәндерімен сәйкес келеді. Дегенмен, бұл салыстырмалы түрде жаңа құбылыс, өйткені қазіргі геометрия оқулықтарында қатынастар мен бөлімдер үшін әлі де ерекше терминология мен белгілер қолданылады. Мұның себептері екі еселі: біріншісі, рационалды емес сандарды нағыз сандар ретінде қабылдауға бұрынғы қарсылық болды, екіншісі, қатынастардың қалыптасқан терминологиясын алмастыруға кеңінен қолданылатын символизмнің болмауы 16 ғасырға дейін бөлшектердің балама ретінде толық қабылдануын кешіктірді.
It is possible to trace the origin of the word "ratio" to the Ancient Greek λόγος (logos). Early translators rendered this into Latin as [[wikt:ratio#Latin ("reason"; as in the word "rational"). A more modern interpretation of Euclid's meaning is more akin to computation or reckoning. Medieval writers used the word proportio ("proportion") to indicate ratio and proportionalitas ("proportionality") for the equality of ratios. Euclid collected the results appearing in the Elements from earlier sources. The Pythagoreans developed a theory of ratio and proportion as applied to numbers. The Pythagoreans' conception of number included only what would today be called rational numbers, casting doubt on the validity of the theory in geometry where, as the Pythagoreans also discovered, incommensurable ratios (corresponding to irrational numbers) exist. The discovery of a theory of ratios that does not assume commensurability is probably due to Eudoxus of Cnidus. The exposition of the theory of proportions that appears in Book VII of The Elements reflects the earlier theory of ratios of commensurables. The existence of multiple theories seems unnecessarily complex since ratios are, to a large extent, identified with quotients and their prospective values. However, this is a comparatively recent development, as can be seen from the fact that modern geometry textbooks still use distinct terminology and notation for ratios and quotients. The reasons for this are twofold: first, there was the previously mentioned reluctance to accept irrational numbers as true numbers, and second, the lack of a widely used symbolism to replace the already established terminology of ratios delayed the full acceptance of fractions as alternative until the 16th century.
Евклидтің анықтамасы
Евклидтің "Элементтер" кітабының V кітабында 18 анықтама бар, олардың барлығы қатынастарға қатысты. Сонымен қатар, Евклид осы кезде кеңінен қолданылған идеяларды пайдаланған, сондықтан оларға жеке анықтама бермеген. Алғашқы екі анықтамада бір шаманың бөлігі – оны "өлшейтін" басқа шама, ал шаманың еселігі – оны өлшейтін шама деп көрсетілген. Қазіргі терминологияда, шаманың еселігі – ол шаманы бірден үлкен бүтін санға көбейту нәтижесінде алынған сан, ал шаманың бөлігі (аликот бөлігі) – бірден үлкен бүтін санға көбейтілгенде бастапқы шаманы беретін бөлік. Евклид мұнда қолданылған "өлшеу" терминін анықтамайды, бірақ егер бір шама өлшеу бірлігі ретінде алынса, ал екінші шама осы бірліктердің толық саны түрінде берілсе, онда бірінші шама екіншісін өлшейді деген қорытынды жасауға болады. Бұл анықтамалар VII кітапта 3 және 5-ші анықтамалар ретінде дерлік сөзсіз қайталанады. 3-ші анықтамада қатынас жалпы түрде сипатталады. Бұл математикалық тұрғыдан қатаң емес, сондықтан кейбіреулер оны Евклидтің өзі емес, оның редакторлары жазғанын айтады. Евклид қатынасты бір типтегі екі шаманың арасындағы байланыс ретінде анықтайды, сондықтан бұл анықтама бойынша екі ұзындықтың немесе екі ауданың қатынасын анықтауға болады, бірақ ұзындық пен ауданның қатынасын анықтауға болмайды. 4-ші анықтама бұл мәселені қатаңдатады. Онда егер әр шаманың еселігі екінші шамадан үлкен болса, онда екі шаманың арақатынасы бар екендігі айтылады. Қазіргі нотацияда, егер m және n бүтін сандары болса, p және q шамалары арасында қатынас бар, яғни mp>q және nq>p. Бұл шарт Архимед қасиеті деп аталады. 5-ші анықтама ең күрделі және қиын. Ол екі қатынастың теңдігін анықтайды. Бүгінгі күні бұл қатынастардың теңдігі терминдердің қатынастарын теңестіру арқылы анықталады, бірақ мұндай анықтама Евклид үшін түсініксіз болар еді. Қазіргі нотацияда Евклидтің теңдік анықтамасы мынадай: берілген p, q, r және s шамалары үшін p:q∷r:s тек қана егер, кез келген оң бүтін сандар m және n үшін np<mq, np=mq немесе np>mq сәйкес nr<ms, nr=ms немесе nr>ms болса. Бұл анықтама Дедекинд кесулерімен байланысты, өйткені n және q екеуі де оң болса, np рационалдық санға сәйкес mq болып табылады (екі шаманы да nq-ға бөлу арқылы). 6-шы анықтамада бірдей қатынасқа ие шамалар пропорционалды немесе пропорцияда екендігі айтылады. Евклид грек тіліндегі ἀναλόγον (аналог) сөзін қолданады, бұл сөздің тамыры λόγος сөзімен байланысты және ағылшын тіліндегі "аналог" сөзімен туыс. 7-ші анықтамада бір қатынастың екіншісінен үлкен немесе кішкентай болуы анықталады және бұл 5-ші анықтамадағы идеяларға негізделген. Қазіргі нотацияда, берілген p, q, r және s шамалары үшін p:q>r:s егер m және n оң бүтін сандары болса, онда np>mq және nr≤ms. 3-ші анықтамадағыдай, 8-ші анықтаманы кейбіреулер Евклидтің редакторларының кейінірек қосымшасы деп санайды. Онда үш шама p, q және r пропорционалды болуы үшін p:q∷q:r деп анықталады. Бұл төрт шамаға дейін кеңейтіледі: p, q, r және s, яғни p:q∷q:r∷r:s және т.б. Бірінен соң бірі келетін шамалардың қатынастары тең болатын тізбек геометриялық прогрессия деп аталады. 9-шы және 10-шы анықтамалар осыны қолданады: егер p, q және r пропорционалды болса, онда p:r – p:q қатынасының квадраты, ал егер p, q, r және s пропорционалды болса, онда p:s – p:q қатынасының кубы.
Book V of Euclid's Elements has 18 definitions, all of which relate to ratios. In addition, Euclid uses ideas that were in such common usage that he did not include definitions for them. The first two definitions say that a part of a quantity is another quantity that "measures" it and conversely, a multiple of a quantity is another quantity that it measures. In modern terminology, this means that a multiple of a quantity is that quantity multiplied by an integer greater than one—and a part of a quantity (meaning aliquot part) is a part that, when multiplied by an integer greater than one, gives the quantity. Euclid does not define the term "measure" as used here, However, one may infer that if a quantity is taken as a unit of measurement, and a second quantity is given as an integral number of these units, then the first quantity measures the second. These definitions are repeated, nearly word for word, as definitions 3 and 5 in book VII. Definition 3 describes what a ratio is in a general way. It is not rigorous in a mathematical sense and some have ascribed it to Euclid's editors rather than Euclid himself. Euclid defines a ratio as between two quantities of the same type, so by this definition the ratios of two lengths or of two areas are defined, but not the ratio of a length and an area. Definition 4 makes this more rigorous. It states that a ratio of two quantities exists, when there is a multiple of each that exceeds the other. In modern notation, a ratio exists between quantities p and q, if there exist integers m and n such that mp>q and nq>p. This condition is known as the Archimedes property. Definition 5 is the most complex and difficult. It defines what it means for two ratios to be equal. Today, this can be done by simply stating that ratios are equal when the quotients of the terms are equal, but such a definition would have been meaningless to Euclid. In modern notation, Euclid's definition of equality is that given quantities p, q, r and s, p:q∷r:s if and only if, for any positive integers m and n, np<mq, np=mq, or np>mq according as nr<ms, nr=ms, or nr>ms, respectively. This definition has affinities with Dedekind cuts as, with n and q both positive, np stands to mq as stands to the rational number (dividing both terms by nq). Definition 6 says that quantities that have the same ratio are proportional or in proportion. Euclid uses the Greek ἀναλόγον (analogon), this has the same root as λόγος and is related to the English word "analog". Definition 7 defines what it means for one ratio to be less than or greater than another and is based on the ideas present in definition 5. In modern notation it says that given quantities p, q, r and s, p:q>r:s if there are positive integers m and n so that np>mq and nr≤ms. As with definition 3, definition 8 is regarded by some as being a later insertion by Euclid's editors. It defines three terms p, q and r to be in proportion when p:q∷q:r. This is extended to four terms p, q, r and s as p:q∷q:r∷r:s, and so on. Sequences that have the property that the ratios of consecutive terms are equal are called geometric progressions. Definitions 9 and 10 apply this, saying that if p, q and r are in proportion then p:r is the duplicate ratio of p:q and if p, q, r and s are in proportion then p:s is the triplicate ratio of p:q.
Терминдер саны және бөлшектердің қолданылуы
Жалпы, екі шаманың қатынасы сандарының салыстыруын қатынастан алынған бөлшек түрінде көрсетуге болады. Мысалы, 2:3 қатынасында бірінші шаманың мөлшері, көлемі немесе саны екінші шаманың санына тең. Егер 2 апельсин мен 3 алма болса, апельсин мен алманың арақатынасы 2:3, ал апельсин мен жемістің жалпы санының арақатынасы 2:5 болады. Бұл қатынастарды бөлшек түрінде де көрсетуге болады: апельсиндер алмалардың 2/3-ін құрайды, ал жемістің 2/5 бөлігі апельсин. Егер апельсин шырыны концентратын сумен 1:4 қатынасында сұйыту керек болса, онда концентраттың бір бөлігі судың төрт бөлігімен араластырылады, яғни барлығы бес бөлік; апельсин шырыны концентратының мөлшері судың 1/4 бөлігіне тең, ал апельсин шырыны концентратының мөлшері жалпы сұйықтықтың 1/5 бөлігін құрайды. Қатынастар мен бөлшектерде нені немен салыстырып жатқанын түсіну маңызды, сондықтан жаңадан бастаушылар жиі қателіктер жасайды. Бөлшектерді екіден астам шамасы бар қатынастардан да шығаруға болады; алайда екіден астам шамасы бар қатынасты бір ғана бөлшекке толық аударуға болмайды, өйткені бөлшек тек екі шаманы ғана салыстыра алады. Кез келген екі шаманың мөлшерін салыстыру үшін бөлек бөлшекті қолдануға болады: мысалы, 2:3:7 қатынасынан екінші шаманың мөлшері үшінші шаманың мөлшеріне тең екенін тұжырымдауға болады.
In general, a comparison of the quantities of a two entity ratio can be expressed as a fraction derived from the ratio. For example, in a ratio of 2:3, the amount, size, volume, or quantity of the first entity is that of the second entity. If there are 2 oranges and 3 apples, the ratio of oranges to apples is 2:3, and the ratio of oranges to the total number of pieces of fruit is 2:5. These ratios can also be expressed in fraction form: there are 2/3 as many oranges as apples, and 2/5 of the pieces of fruit are oranges. If orange juice concentrate is to be diluted with water in the ratio 1:4, then one part of concentrate is mixed with four parts of water, giving five parts total; the amount of orange juice concentrate is 1/4 the amount of water, while the amount of orange juice concentrate is 1/5 of the total liquid. In both ratios and fractions, it is important to be clear what is being compared to what, and beginners often make mistakes for this reason. Fractions can also be inferred from ratios with more than two entities; however, a ratio with more than two entities cannot be completely converted into a single fraction, because a fraction can only compare two quantities. A separate fraction can be used to compare the quantities of any two of the entities covered by the ratio: for example, from a ratio of 2:3:7 we can infer that the quantity of the second entity is that of the third entity.
Үлес және пайыздық қатынастар
Егер қатынасқа қатысты барлық шамаларды бірдей санға көбейтсек, қатынас өзгермейді. Мысалы, 3:2 қатынасы 12:8 қатынасына тең. Әдетте, мүшелерді ең кішкентай ортақ бөлімге дейін қысқартуға немесе оларды жүзден бір бөлігі ретінде (пайызбен) көрсетуге болады. Егер қоспада А, В, С және D заттары 5:9:4:2 қатынасында болса, онда В-ның әр 9 бөлігіне А-ның 5 бөлігі, С-ның 4 бөлігі және D-ның 2 бөлігі сәйкес келеді. 5+9+4+2=20 болғандықтан, қоспаның құрамында А-ның 5/20 (20-дан 5 бөлік), В-ның 9/20, С-ның 4/20 және D-ның 2/20 бөлігі бар. Егер барлық сандарды жалпы сомаға бөліп, 100-ге көбейтсек, оларды пайыздық шамаға айналдырған боламыз: 25% А, 45% В, 20% С және 10% D (бұл қатынасты 25:45:20:10 деп жазумен бірдей). Егер екі немесе одан көп қатынас шамалары белгілі бір жағдайдағы барлық шамаларды қамтитын болса, онда "жалпы" соманың бөліктерінен тұрады делінеді. Мысалы, екі алма мен үш апельсиннен және басқа жеміс жоқ жеміс себеті екі бөлік алмадан және үш бөлік апельсиннен тұрады. Бұл жағдайда, немесе 40% жалпы сома алмадан, немесе 60% жалпы сома апельсиннен тұрады. Нақты шаманы "жалпы" сомамен салыстыру пропорция деп аталады. Егер қатынас тек екі мәннен тұрса, оны бөлшек түрінде, әсіресе ондық бөлшек түрінде көрсетуге болады. Мысалы, ескі теледидарлардың экран қатынасы 4:3 болып келеді, яғни ені биіктіктің 4/3-іне тең (мұны 1,33:1 немесе екі ондық таңбаға дейін дөңгелетілген 1,33 түрінде де көрсетуге болады). Жаңа кең экранды теледидарлардың экран қатынасы 16:9 немесе екі ондық таңбаға дейін дөңгелетілген 1,78-ге тең. Киноның кең экранды форматтарының бірі 2,35:1 немесе жай ғана 2,35 болып табылады. Қатынастарды ондық бөлшектер түрінде көрсету оларды салыстыруды жеңілдетеді. 1,33, 1,78 және 2,35 сандарын салыстырғанда, қай форматтың кеңірек бейне беретіні анық көрінеді. Мұндай салыстыру тек салыстырылатын мәндер бірдей болғанда ғана жұмыс істейді, мысалы, енді әрқашан биіктікке қатысты көрсету керек.
If we multiply all quantities involved in a ratio by the same number, the ratio remains valid. For example, a ratio of 3:2 is the same as 12:8. It is usual either to reduce terms to the lowest common denominator, or to express them in parts per hundred (percent). If a mixture contains substances A, B, C and D in the ratio 5:9:4:2 then there are 5 parts of A for every 9 parts of B, 4 parts of C and 2 parts of D. As 5+9+4+2=20, the total mixture contains 5/20 of A (5 parts out of 20), 9/20 of B, 4/20 of C, and 2/20 of D. If we divide all numbers by the total and multiply by 100, we have converted to percentages: 25% A, 45% B, 20% C, and 10% D (equivalent to writing the ratio as 25:45:20:10). If the two or more ratio quantities encompass all of the quantities in a particular situation, it is said that "the whole" contains the sum of the parts: for example, a fruit basket containing two apples and three oranges and no other fruit is made up of two parts apples and three parts oranges. In this case, , or 40% of the whole is apples and , or 60% of the whole is oranges. This comparison of a specific quantity to "the whole" is called a proportion. If the ratio consists of only two values, it can be represented as a fraction, in particular as a decimal fraction. For example, older televisions have a 4:3 aspect ratio, which means that the width is 4/3 of the height (this can also be expressed as 1.33:1 or just 1.33 rounded to two decimal places). More recent widescreen TVs have a 16:9 aspect ratio, or 1.78 rounded to two decimal places. One of the popular widescreen movie formats is 2.35:1 or simply 2.35. Representing ratios as decimal fractions simplifies their comparison. When comparing 1.33, 1.78 and 2.35, it is obvious which format offers wider image. Such a comparison works only when values being compared are consistent, like always expressing width in relation to height.
Кішірейту
Қатынастарды (бөлшектер сияқты) барлық шамалардың ортақ көбейткіштеріне бөлу арқылы қысқартуға болады. Бөлшектердегідей, қатынастағы сандар ең кіші мүмкін бүтін сандар болған түрі ең қарапайым түрі болып саналады. Мысалы, 40:60 қатынасы 2:3 қатынасына эквивалентті, екіншісі біріншісінен екі шаманы да 20-ға бөлу арқылы алынған. Математикалық жазылуы: 40:60 = 2:3, немесе балама түрі 40:60 ∷ 2:3. Сөзбен айтқанда: "40 саны 60 санына қатынасты болғандай, 2 саны 3 санына қатынасты". Егер қатынастың екі шамасы да бүтін сан болса және оны бүтін сандарды қолдана отырып одан әрі қысқарту мүмкін болмаса, онда ол қатынас ең қарапайым түрінде немесе ең төменгі шартта делінеді. Кейде әртүрлі қатынастарды салыстыру үшін қатынасты 1:x немесе x:1 түрінде жазу ыңғайлы, мұнда x міндетті түрде бүтін сан емес. Мысалы, 4:5 қатынасын 1:1.25 деп жазуға болады (екі жағын да 4-ке бөлу). Балама ретінде, оны 0.8:1 деп жазуға болады (екі жағын да 5-ке бөлу). Контекст мағынаны анықтайтын жағдайда, мұндай қатынас кейде 1 және қатынас белгісінсіз (: ) жазылуы мүмкін, бірақ математикалық тұрғыдан алғанда, бұл оны көбейткіш немесе коэффициент етеді.
Ratios can be reduced (as fractions are) by dividing each quantity by the common factors of all the quantities. As for fractions, the simplest form is considered that in which the numbers in the ratio are the smallest possible integers. Thus, the ratio 40:60 is equivalent in meaning to the ratio 2:3, the latter being obtained from the former by dividing both quantities by 20. Mathematically, we write 40:60 = 2:3, or equivalently 40:60∷2:3. The verbal equivalent is "40 is to 60 as 2 is to 3." A ratio that has integers for both quantities and that cannot be reduced any further (using integers) is said to be in simplest form or lowest terms. Sometimes it is useful to write a ratio in the form 1:x or x:1, where x is not necessarily an integer, to enable comparisons of different ratios. For example, the ratio 4:5 can be written as 1:1.25 (dividing both sides by 4) Alternatively, it can be written as 0.8:1 (dividing both sides by 5). Where the context makes the meaning clear, a ratio in this form is sometimes written without the 1 and the ratio symbol (:), though, mathematically, this makes it a factor or multiplier.
Мүмкіндіктер
Бәс тігудегі (қомар ойындардағыдай) ұқсастықтар қатынас түрінде беріледі. Мысалы, "7-ге 3 қарсы" (7:3) деген ұқсастық, оқиғаның орын алмауының жеті мүмкіндігіне үш мүмкіндік орын алуын білдіреді. Сәттілікке жету ықтималдығы 30% құрайды. Әр он рет сынағанда үш жеңіс және жеті жеңіліс күтіледі.
Odds (as in gambling) are expressed as a ratio. For example, odds of "7 to 3 against" (7:3) mean that there are seven chances that the event will not happen to every three chances that it will happen. The probability of success is 30%. In every ten trials, there are expected to be three wins and seven losses.
Бірліктер
Қатынастар бірліксіз болуы мүмкін, егер олар әртүрлі өлшем бірліктерімен берілген шамаларды, тіпті бастапқыда өлшем бірліктері әртүрлі болса да, бірдей өлшеммен байланыстырса. Мысалы, бір минут : 40 секунд қатынасын бірінші шаманы 60 секундқа ауыстыру арқылы қысқартуға болады, сонда қатынас 60 секунд : 40 секунд болады. Бірліктер теңелгеннен кейін оларды жоюға болады және қатынасты 3:2-ге дейін азайтуға болады. Дегенмен, өлшемсіз емес бөлінділер де бар, олар мөлшерлеме деп аталады (кейде қатынастар деп те аталады). Химияда массалық концентрация қатынастары көбінесе салмақ/көлем үлестері түрінде беріледі. Мысалы, 3% w/v концентрациясы әр 100 мл ерітіндіде 3 грамм зат бар екенін білдіреді. Бұл салмақ/салмақ немесе көлем/көлем үлестері сияқты өлшемсіз қатынасқа түрлендірілмейді.
Ratios may be unitless, as in the case they relate quantities in units of the same dimension, even if their units of measurement are initially different. For example, the ratio one minute : 40 seconds can be reduced by changing the first value to 60 seconds, so the ratio becomes 60 seconds : 40 seconds. Once the units are the same, they can be omitted, and the ratio can be reduced to 3:2. On the other hand, there are non dimensionless quotients, also known as rates (sometimes also as ratios). In chemistry, mass concentration ratios are usually expressed as weight/volume fractions. For example, a concentration of 3% w/v usually means 3 g of substance in every 100 mL of solution. This cannot be converted to a dimensionless ratio, as in weight/weight or volume/volume fractions.
Үшбұрышты координаттар
А, В және С төбелері бар үшбұрыштың және AB, BC және CA қабырғаларына қатысты нүктелердің орналасуы көбінесе үшбұрыштық координаталар түрінде кеңейтілген қатынас ретінде беріледі. Барицентрлік координаталарда α, β, γ координаталары бар нүкте – үшбұрыштың пішіні мен мөлшеріне сәйкес салмағы жоқ металл жапырақ, егер төбелеріне салмақтар қойылса, дәл тепе-теңдікте болады, мұнда А және В төбелеріндегі салмақтардың қатынасы α:β, В және С төбелеріндегі салмақтардың қатынасы β:γ, демек А және С төбелеріндегі салмақтардың қатынасы α:γ болады. Трилинейлік координаталарда x:y:z координаталары бар нүкте BC қабырғасына (А төбесінен) және CA қабырғасына (В төбесінен) x:y қатынасында, CA қабырғасына және AB қабырғасына (С арқылы) y:z қатынасында, демек BC және AB қабырғаларына x:z қатынасында перпендикуляр қашықтықтарға ие. Барлық ақпарат қатынастар түрінде берілгендіктен (α, β, γ, x, y және z арқылы белгіленген жеке сандардың өзінің жеке мағынасы жоқ), үшбұрыштың мөлшеріне қарамастан, үшбұрышты талдау барицентрлік немесе трилинейлік координаталарды қолданады.
The locations of points relative to a triangle with vertices A, B, and C and sides AB, BC, and CA are often expressed in extended ratio form as triangular coordinates. In barycentric coordinates, a point with coordinates α, β, γ is the point upon which a weightless sheet of metal in the shape and size of the triangle would exactly balance if weights were put on the vertices, with the ratio of the weights at A and B being α : β, the ratio of the weights at B and C being β : γ, and therefore the ratio of weights at A and C being α : γ. In trilinear coordinates, a point with coordinates x:y:z has perpendicular distances to side BC (across from vertex A) and side CA (across from vertex B) in the ratio x:y, distances to side CA and side AB (across from C) in the ratio y:z, and therefore distances to sides BC and AB in the ratio x:z. Since all information is expressed in terms of ratios (the individual numbers denoted by α, β, γ, x, y, and z have no meaning by themselves), a triangle analysis using barycentric or trilinear coordinates applies regardless of the size of the triangle.