Введение
Число остовных деревьев полного графа
In mathematics, Cayley's formula is a result in graph theory named after Arthur Cayley. It states that for every positive integer , the number of trees on labeled vertices is
The formula equivalently counts the number of spanning trees of a complete graph with labeled vertices .
В математике формула Кейли — это результат в теории графов, названный в честь Артура Кейли. Она утверждает, что для каждого положительного целого числа *n*, количество деревьев на *n* маркированных вершинах равно *n^(n-2)*.
In mathematics, Cayley's formula is a result in graph theory named after Arthur Cayley. It states that for every positive integer , the number of trees on labeled vertices is
The formula equivalently counts the number of spanning trees of a complete graph with labeled vertices .
Эквивалентно, формула подсчитывает количество остовных деревьев полного графа с *n* маркированными вершинами.
In mathematics, Cayley's formula is a result in graph theory named after Arthur Cayley. It states that for every positive integer , the number of trees on labeled vertices is
The formula equivalently counts the number of spanning trees of a complete graph with labeled vertices .
Доказательство
Известно множество доказательств формулы дерева Кэли. Одно из классических доказательств формулы использует теорему Кирхгофа о матричном дереве, формулу для числа остовных деревьев в произвольном графе, включающую определитель матрицы. Последовательности Прюфера дают биективное доказательство формулы Кэли. Другое биективное доказательство, предложенное Андре Жуайялем, устанавливает взаимно однозначное соответствие между деревьями из n узлов с двумя выделенными узлами и максимальными ориентированными псевдолесами. Доказательство методом двойного подсчёта, разработанное Джимом Питманом, подсчитывает двумя различными способами количество различных последовательностей ориентированных рёбер, которые можно добавить к пустому графу на n вершинах, чтобы получить из него корневое дерево; см.
История
Формула была впервые открыта Карлом Вильгельмом Борхардом в 1860 году и доказана с использованием определителя. В краткой заметке 1889 года Кейли обобщил формулу в нескольких направлениях, учитывая степени вершин. Несмотря на то, что он ссылался на оригинальную работу Борхарда, в области установилось название "формула Кейли".
Другие свойства
Формула Кейли сразу дает число помеченных корневых лесов на n вершинах, а именно (n + 1)^(n − 1). Каждый помеченный корневой лес можно преобразовать в помеченное дерево с одной дополнительной вершиной, добавив вершину с меткой n + 1 и соединив ее со всеми корнями деревьев в лесу. Существует тесная связь между корневыми лесами и парковочными функциями, поскольку число парковочных функций на n машинах также равно (n + 1)^(n − 1). Биекция между корневыми лесами и парковочными функциями была установлена М. П. Шутценбергером в 1968 году.