Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Алгебраическое разложение степеней бинома
Algebraic expansion of powers of a binomial
В элементарной алгебре бином Ньютона (или биномиальное разложение) описывает алгебраическое разложение степеней бинома. Согласно теореме, многочлен (x + y)^n можно разложить в сумму, включающую слагаемые вида ax^b y^c, где показатели b и c – неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию b + c = n, а коэффициент a каждого слагаемого – конкретное положительное целое число, зависящее от n и b. Например, при n = 4,
In elementary algebra, the binomial theorem (or binomial expansion) describes the algebraic expansion of powers of a binomial. According to the theorem, it is possible to expand the polynomial (x + y)^(n) into a sum involving terms of the form ax^(b)y^(c), where the exponents b and c are nonnegative integers with 1=b + c = n, and the coefficient a of each term is a specific positive integer depending on n and b. For example, for 1=n = 4,
Коэффициент a в слагаемом ax^b y^c известен как биномиальный коэффициент или (оба значения равны). Эти коэффициенты для различных n и b можно расположить в виде треугольника Паскаля. Эти числа также встречаются в комбинаторике, где обозначает количество различных комбинаций (то есть подмножеств) из b элементов, которые можно выбрать из множества, содержащего n элементов. Поэтому обычно читается как "C из n по b".
The coefficient a in the term of ax^(b)y^(c) is known as the binomial coefficient or (the two have the same value). These coefficients for varying n and b can be arranged to form Pascal's triangle. These numbers also occur in combinatorics, where gives the number of different combinations (i. e. subsets) of b elements that can be chosen from an n element set. Therefore is usually pronounced as "n choose b".
История
Особые случаи теоремы о биноме были известны по крайней мере с IV века до н.э., когда греческий математик Евклид упомянул особый случай теоремы о биноме. Греческий математик Диофант возводил в куб различные биномы, в том числе. Комментатор Халайудха из X века н.э. объясняет этот метод, а ясное изложение этого правила можно найти в тексте «Лилавати» Бхаскары, датируемом XII веком. Аль-Караджи описал треугольную закономерность биномиальных коэффициентов и предоставил математическое доказательство как теоремы о биноме, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Также этим занимался Чу Ши-Цзе. Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своем «Traité du triangle arithmétique». Однако эта закономерность чисел уже была известна европейским математикам позднего Возрождения, включая Стифеля, Никколо Фонтана Тарталью и Симона Стевина. Независимо от них, ее открыл Джеймс Грегори в 1670 году.
Special cases of the binomial theorem were known since at least the 4th century BC when Greek mathematician Euclid mentioned the special case of the binomial theorem for exponent Greek mathematician Diophantus cubed various binomials, including The commentator Halayudha from the 10th century AD explains this method. and a clear statement of this rule can be found in the 12th century text Lilavati by Bhaskara. Al Karaji described the triangular pattern of the binomial coefficients and also provided a mathematical proof of both the binomial theorem and Pascal's triangle, using an early form of mathematical induction. and also Chu Shih Chieh. Blaise Pascal studied the eponymous triangle comprehensively in his Traité du triangle arithmétique. However, the pattern of numbers was already known to the European mathematicians of the late Renaissance, including Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia, and Simon Stevin. It was discovered independently in 1670 by James Gregory.
Многочленная теорема
Биномиальную теорему можно обобщить для степеней сумм с более чем двумя слагаемыми. Общая формулировка выглядит следующим образом:
The binomial theorem can be generalized to include powers of sums with more than two terms. The general version is
где суммирование ведется по всем последовательностям неотрицательных целых индексов k1, k2, ..., km, таким что сумма всех ki равна n. (Для каждого члена разложения сумма показателей степени должна равняться n). Коэффициенты называются мультиномиальными коэффициентами и вычисляются по формуле
where the summation is taken over all sequences of nonnegative integer indices k1 through km such that the sum of all ki is n. (For each term in the expansion, the exponents must add up to n). The coefficients are known as multinomial coefficients, and can be computed by the formula
Комбинаторно, мультиномиальный коэффициент подсчитывает количество различных способов разбиения множества из n элементов на непересекающиеся подмножества размерами k1, k2, ..., km.
Combinatorially, the multinomial coefficient counts the number of different ways to partition an n element set into disjoint subsets of sizes 1=k1, , km.
В абстрактной алгебре
Биномиальная теорема справедлива в более общем виде для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце, при условии, что 1 = xy = yx. Например, она верна для двух матриц n × n, при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно при вычислении степеней матрицы. Биномиальную теорему можно сформулировать, утверждая, что последовательность многочленов является биномиального типа.
The binomial theorem is valid more generally for two elements x and y in a ring, or even a semiring, provided that 1=xy = yx. For example, it holds for two n × n matrices, provided that those matrices commute; this is useful in computing powers of a matrix. The binomial theorem can be stated by saying that the polynomial sequence is of binomial type.
В популярной культуре
Биномиальная теорема упоминается в песне генерал-майора в комической опере «Пираты Пензанса». Шерлок Холмс описывает профессора Мориарти как автора трактата о биномиальной теореме. Португальский поэт Фернандо Пессоа, используя гетероним Альваро де Кампос, писал: «Бином Ньютона столь же прекрасен, как Венера Милосская. Правда в том, что мало кто это замечает». В фильме 2014 года «Игра в имитацию» Алан Тьюринг ссылается на работы Исаака Ньютона по биномиальной теореме во время его первой встречи с командующим Деннистоном в Блетчли-парке.
The binomial theorem is mentioned in the Major General's Song in the comic opera The Pirates of Penzance. Professor Moriarty is described by Sherlock Holmes as having written a treatise on the binomial theorem. The Portuguese poet Fernando Pessoa, using the heteronym Álvaro de Campos, wrote that "Newton's Binomial is as beautiful as the Venus de Milo. The truth is that few people notice it." In the 2014 film The Imitation Game, Alan Turing makes reference to Isaac Newton's work on the binomial theorem during his first meeting with Commander Denniston at Bletchley Park.