Введение
Математическая последовательность
В математике (подписанные и неподписанные) числа Лаха являются коэффициентами, выражающими растущие факториалы через падающие факториалы и наоборот. Они были открыты Иво Ла в 1954 году. Явно, неподписанные числа Лаха задаются формулой, включающей биномиальный коэффициент
для
Неподписанные числа Лаха имеют интересное значение в комбинаторике: они подсчитывают количество способов, которыми множество из элементов можно разбить на непустых линейно упорядоченных подмножеств. Числа Лаха связаны с числами Стерлинга. Для , число Лаха равно факториалу . В указанной интерпретации, единственное разбиение на 1 множество может быть упорядочено 6 способами: равно 6, поскольку существует шесть разбиений на две упорядоченные части: всегда равно 1, потому что единственный способ разбить на непустых подмножеств приводит к подмножествам размера 1, которые можно переставить только одним способом. В более современной литературе получила распространение нотация в стиле Кармата–Кнута. Числа Лаха теперь часто записываются как
Unsigned Lah numbers have an interesting meaning in combinatorics: they count the number of ways a set of elements can be partitioned into nonempty linearly ordered subsets. Lah numbers are related to Stirling numbers. For , the Lah number is equal to the factorial in the interpretation above, the only partition of into 1 set can have its set ordered in 6 ways: is equal to 6, because there are six partitions of into two ordered parts: is always 1 because the only way to partition into non empty subsets results in subsets of size 1, that can only be permuted in one way. In the more recent literature, Karamata–Knuth style notation has taken over. Lah numbers are now often written as
Повышающиеся и понижающиеся факториалы
Давайте обозначим растущий факториал как , а падающий факториал как . Числа Лаха — это коэффициенты, выражающие каждую из этих семейств многочленов через другое. Явно, и. Например, и, где коэффициенты 6, 6 и 1 являются как раз числами Лаха , , и .
where the coefficients 6, 6, and 1 are exactly the Lah numbers , , and .
Идентичность и отношения
Числа Ла удовлетворяют множеству тождеств и соотношений. В нотации Караматы–Кнута для чисел Стирлинга, где – числа Стирлинга первого рода, а – числа Стирлинга второго рода, для .
Отношения повторности
Числа Ла удовлетворяют рекуррентным соотношениям, где δ – дельта Кронекера, и для всех n.
Ссылка на Лагуерские полиномы
Обобщенные полиномы Лагере связаны с числами Лаха при установке . Эта формула представляет собой полином Лагере по умолчанию в рамках исчисления теней.
Практическое применение
В последние годы числа Лаха стали применяться в стеганографии для сокрытия данных в изображениях. По сравнению с альтернативными методами, такими как DCT, DFT и DWT, они обладают меньшей вычислительной сложностью благодаря целочисленности своих коэффициентов. Преобразования Лаха и Лагерра естественным образом возникают при описании хроматической дисперсии в рамках теории возмущений. В оптике Лагерра такой подход значительно ускоряет решение задач оптимизации.