Треугольник Паскаля: история и свойства

Введение

Треугольный массив биномиальных коэффициентов в математике
В математике треугольник Паскаля — это треугольный массив биномиальных коэффициентов, играющих решающую роль в теории вероятностей, комбинаторике и алгебре. В большинстве стран западного мира он назван в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя другие математики изучали его за столетия до него в Персии, Китае, Германии и Италии. k-й элемент в n-й строке треугольника Паскаля — это биномиальный коэффициент "n по k", записываемый как . Строки нумеруются сверху вниз, начиная с 0 (нулевая строка), а элементы в каждой строке нумеруются слева направо и обычно смещены влево относительно элементов в предыдущей строке. Треугольник можно построить следующим образом: верхний элемент равен 1, а каждый нижний элемент равен сумме двух элементов над ним слева и справа, при этом пустые элементы считаются равными 0. Например, первый элемент строки 1 (или любой другой строки) равен 1 (сумма 0 и 1), а первые два элемента 1 и 3 в строке 3 складываются, чтобы получить число 4, расположенное ниже них в строке 4.

История

Схема чисел, формирующая треугольник Паскаля, была известна задолго до времени Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал книгу, которая сейчас утеряна, в которой содержалось первое формулирование биномиальных коэффициентов и первое описание треугольника Паскаля. Позже это было повторено Омаром Хайямом (1048–1131), другим персидским математиком; таким образом, треугольник также называется треугольником Хайяма (مثلث خیام) в Иране. Было известно несколько теорем, связанных с треугольником, включая бином Ньютона. Хайям использовал метод нахождения n-х корней, основанный на биномиальном разложении, и, следовательно, на биномиальных коэффициентах. Треугольник Паскаля был известен в Китае в начале 11 века благодаря работам китайского математика Цзя Сяня (1010–1070). В 13-м веке Ян Хуэй (1238–1298) определил треугольник, и он известен как треугольник Ян Хуэй (s=杨辉三角) в Китае. В Европе треугольник Паскаля впервые появился в "Арифметике" Иордана де Неморе (XIII век). Биномиальные коэффициенты были вычислены Герсонидом в начале 14 века, с использованием мультипликативной формулы для них. Петрус Апиан (1495–1552) опубликовал полный треугольник на фронтисписе своей книги по практической арифметике в 1527 году. Майкл Стифель опубликовал часть треугольника (от второго до среднего столбца в каждой строке) в 1544 году, описав его как таблицу фигурных чисел. В своей работе Паскаль собрал несколько известных тогда результатов о треугольнике и использовал их для решения задач теории вероятностей. Позже треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его table de M. Pascal pour les combinaisons (фр. Таблица господина Паскаля для комбинаций), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (лат. Арифметический треугольник Паскаля), что стало основой современного западного названия.

Комбинации

Второе полезное применение треугольника Паскаля — в вычислении сочетаний. Количество сочетаний из *n* элементов по *k* элементов, то есть количество подмножеств из *k* элементов, выбранных из множества, состоящего из *n* элементов, можно найти по формуле

Это равно элементу в строке *n* треугольника Паскаля. Вместо выполнения умножения, можно просто найти соответствующий элемент в треугольнике (построенном путем сложения). Например, предположим, что нужно нанять 3 работника из числа 7 кандидатов; тогда число возможных вариантов найма равно числу сочетаний из 7 по 3, то есть элементу в строке 7, 3-му по счету, в вышеуказанной таблице, который равен .

Отношение к биномиальному распределению и конвульсиям

При делении на , n-я строка треугольника Паскаля становится биномиальным распределением в симметричном случае, где . По центральной предельной теореме, это распределение приближается к нормальному распределению при увеличении n. Это также можно увидеть, применив формулу Стирлинга к факториалам, входящим в формулу для сочетаний. Это связано с операцией дискретной свертки двумя способами. Во-первых, умножение многочленов точно соответствует дискретной свертке, так что повторная свертка последовательности с самой собой соответствует возведению в степень , и, следовательно, генерации строк треугольника. Во-вторых, повторная свертка функции распределения для случайной величины с самой собой соответствует вычислению функции распределения для суммы n независимых копий этой величины; это именно та ситуация, к которой применима центральная предельная теорема, и, следовательно, приводит к нормальному распределению в пределе. (Операция повторной свертки чего-либо с самим собой называется степенью свертки.)

Образцы и свойства

Треугольник Паскаля обладает множеством свойств и содержит множество закономерностей в числах.

Ряды

Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предшествующей ей строки. Например, строка 0 (верхняя строка) имеет значение 1, строка 1 имеет значение 2, строка 2 имеет значение 4 и так далее. Это происходит потому, что каждый элемент в строке порождает два элемента в следующей строке: один слева и один справа. Сумма элементов строки *n* равна… Рассматривая произведение элементов в каждой строке, последовательность произведений связана с основанием натурального логарифма, *e*. В частности, определим последовательность для всех следующим образом: Тогда отношение последовательных произведений строк равно , а отношение этих отношений равно . Правая часть вышеуказанного уравнения принимает форму предельного определения , которое можно найти в треугольнике Паскаля с использованием бесконечного ряда Нилаканты. *n*-я строка представляет собой число , что верно для его представления в любой системе счисления. Например, строка 6 треугольника равна 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, а шестая степень 11 в десятичной системе имеет цифры… Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в треугольнике Лозанича. Сумма квадратов элементов строки *n* равна среднему элементу строки *2n*. Например, 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. В общем виде: В любой четной строке *n*, средний член минус член, находящийся на два места левее, равен числу Каталана, а именно… Например: в строке 4, которая равна 1, 4, 6, 4, 1, мы получаем 3-е число Каталана. В строке *p*, где *p* – простое число, все элементы в этой строке, кроме единиц, делятся на *p*. Это легко доказать, исходя из мультипликативной формулы. Поскольку знаменатель не может иметь простых множителей, равных *p*, то *p* остается в числителе после целочисленного деления, делая всю запись кратной *p*. Для подсчета нечетных элементов в строке *n*, преобразуйте *n* в двоичную систему. Пусть *x* будет количеством единиц в двоичном представлении. Тогда количество нечетных элементов будет равно 2^(x). Эти числа являются значениями в последовательности Гулда. Каждый элемент в строке 2*n* − 1, *n* ≥ 0, является нечетным. Полярность: если элементы строки треугольника Паскаля последовательно складывать и вычитать, то результат будет равен 0. Например, строка 6 равна 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, поэтому формула выглядит так: 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0.

The sum of the elements of a single row is twice the sum of the row preceding it. For example, row 0 (the topmost row) has a value of 1, row 1 has a value of 2, row 2 has a value of 4, and so forth. This is because every item in a row produces two items in the next row: one left and one right. The sum of the elements of row equals to Taking the product of the elements in each row, the sequence of products is related to the base of the natural logarithm, e. Specifically, define the sequence for all as follows: Then, the ratio of successive row products is and the ratio of these ratios is The right hand side of the above equation takes the form of the limit definition of can be found in Pascal's triangle by use of the Nilakantha infinite series. The th row reads as the numeral , which holds for its representation in an arbitrary base. For example, row 6 of the triangle is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, and the sixth power of 11 has base ten digits:
Some of the numbers in Pascal's triangle correlate to numbers in Lozanić's triangle. The sum of the squares of the elements of row n equals the middle element of row 2n. For example, 1=1^(2) + 4^(2) + 6^(2) + 4^(2) + 1^(2) = 70. In general form:
In any even row , the middle term minus the term two spots to the left equals a Catalan number, specifically For example: in row 4, which is 1, 4, 6, 4, 1, we get the 3rd Catalan number In a row p, where p is a prime number, all the terms in that row except the 1s are divisible by p. This can be proven easily, from the multiplicative formula Since the denominator can have no prime factors equal to p, so p remains in the numerator after integer division, making the entire entry a multiple of p.
Parity: To count odd terms in row n, convert n to binary. Let x be the number of 1s in the binary representation. Then the number of odd terms will be 2^(x). These numbers are the values in Gould's sequence. Every entry in row 2n − 1, n ≥ 0, is odd. Polarity: When the elements of a row of Pascal's triangle are alternately added and subtracted together, the result is 0. For example, row 6 is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, so the formula is 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0.

Конструкция как матрица экспоненциальной

Благодаря простому построению с использованием факториалов, можно представить треугольник Паскаля в виде матричной экспоненты следующим образом: треугольник Паскаля является экспонентой матрицы, у которой последовательность 1, 2, 3, 4 находится на поддиагонали, а все остальные элементы равны нулю.

Построение алгебры Клиффорда с использованием упрощенных

Обозначение элементов каждого n-симплекса соответствует базисным элементам алгебры Клиффорда, используемым в качестве форм в геометрической алгебре, а не матриц. Распознавание геометрических операций, таких как вращения, позволяет вывести алгебраические операции. Подобно тому, как каждая строка, n, начиная с 0, в треугольнике Паскаля соответствует (n-1)-симплексу, как описано ниже, она также определяет количество именованных базисных форм в n-мерной геометрической алгебре. Биномиальная теорема может быть использована для доказательства геометрической связи, предоставляемой треугольником Паскаля. То же самое доказательство можно применить к симплексам, за исключением того, что первый столбец, состоящий из единиц, следует игнорировать, в то время как в алгебре он соответствует действительным числам, с базисом 1.

Отношение к геометрии политопов

Треугольник Паскаля можно использовать как таблицу поиска для определения количества элементов (например, рёбер и вершин) в политопе (например, треугольнике, тетраэдре, квадрате или кубе).

Количество элементов простых

Начнем с рассмотрения 3-й строки треугольника Паскаля, со значениями 1, 3, 3, 1. Двумерный треугольник имеет один двухмерный элемент (сам себя), три одномерных элемента (линии или края) и три нульмерных элемента (вершины или углы). Значение последнего числа (1) сложнее объяснить (но см. ниже). Продолжая наш пример, тетраэдр имеет один трехмерный элемент (сам), четыре двухмерных элемента (грани), шесть одномерных элементов (края) и четыре нульмерных элемента (вершины). Добавляя последний 1, эти значения соответствуют 4-й строке треугольника (1, 4, 6, 4, 1). Строка 1 соответствует точке, а строка 2 соответствует отрезку прямой (диаде). Эта закономерность продолжается для гипертетраэдров произвольно высокой размерности (известных как симплексы). Чтобы понять, почему эта закономерность существует, необходимо сначала понять, что процесс построения n-симплекса из (n − 1)-симплекса заключается в простом добавлении новой вершины к последнему, расположенной таким образом, что эта новая вершина лежит вне пространства исходного симплекса, и соединении ее со всеми исходными вершинами. В качестве примера рассмотрим случай построения тетраэдра из треугольника, элементы которого перечислены в 3-й строке треугольника Паскаля: 1 грань, 3 ребра и 3 вершины. Чтобы построить тетраэдр из треугольника, поместите новую вершину над плоскостью треугольника и соедините ее со всеми тремя вершинами исходного треугольника. Число элементов заданной размерности в тетраэдре теперь является суммой двух чисел: во-первых, число этих элементов в исходном треугольнике, и во-вторых, число новых элементов, каждый из которых построен на элементах на единицу меньшей размерности из исходного треугольника. Таким образом, в тетраэдре число ячеек (полиэдрических элементов) равно ; число граней равно ; число ребер равно ; число новых вершин равно . Этот процесс суммирования числа элементов данной размерности с числом элементов на единицу меньшей размерности для получения числа первых в следующем симплексе более высокой размерности эквивалентен процессу суммирования двух соседних чисел в строке треугольника Паскаля для получения числа ниже. Таким образом, значение последнего числа (1) в строке треугольника Паскаля становится понятным как представление новой вершины, которая должна быть добавлена к симплексу, представленному этой строкой, для получения следующего симплекса более высокой размерности, представленного следующей строкой. Эта новая вершина соединяется с каждым элементом в исходном симплексе, чтобы получить новый элемент на единицу более высокой размерности в новом симплексе, и это является источником закономерности, идентичной той, что наблюдается в треугольнике Паскаля.

Let's begin by considering the 3rd line of Pascal's triangle, with values 1, 3, 3, 1. A 2 dimensional triangle has one 2 dimensional element (itself), three 1 dimensional elements (lines, or edges), and three 0 dimensional elements (vertices, or corners). The meaning of the final number (1) is more difficult to explain (but see below). Continuing with our example, a tetrahedron has one 3 dimensional element (itself), four 2 dimensional elements (faces), six 1 dimensional elements (edges), and four 0 dimensional elements (vertices). Adding the final 1 again, these values correspond to the 4th row of the triangle (1, 4, 6, 4, 1). Line 1 corresponds to a point, and Line 2 corresponds to a line segment (dyad). This pattern continues to arbitrarily high dimensioned hyper tetrahedrons (known as simplices). To understand why this pattern exists, one must first understand that the process of building an n simplex from an (n − 1) simplex consists of simply adding a new vertex to the latter, positioned such that this new vertex lies outside of the space of the original simplex, and connecting it to all original vertices. As an example, consider the case of building a tetrahedron from a triangle, the latter of whose elements are enumerated by row 3 of Pascal's triangle: 1 face, 3 edges, and 3 vertices. To build a tetrahedron from a triangle, position a new vertex above the plane of the triangle and connect this vertex to all three vertices of the original triangle. The number of a given dimensional element in the tetrahedron is now the sum of two numbers: first the number of that element found in the original triangle, plus the number of new elements, each of which is built upon elements of one fewer dimension from the original triangle. Thus, in the tetrahedron, the number of cells (polyhedral elements) is ; the number of faces is the number of edges is the number of new vertices is This process of summing the number of elements of a given dimension to those of one fewer dimension to arrive at the number of the former found in the next higher simplex is equivalent to the process of summing two adjacent numbers in a row of Pascal's triangle to yield the number below. Thus, the meaning of the final number (1) in a row of Pascal's triangle becomes understood as representing the new vertex that is to be added to the simplex represented by that row to yield the next higher simplex represented by the next row. This new vertex is joined to every element in the original simplex to yield a new element of one higher dimension in the new simplex, and this is the origin of the pattern found to be identical to that seen in Pascal's triangle.

Количество элементов гиперкубков

Аналогичная закономерность наблюдается в отношении квадратов, в отличие от треугольников. Чтобы найти закономерность, необходимо построить аналог треугольника Паскаля, в котором элементы являются коэффициентами выражения (x + 2)^(номер строки), а не (x + 1)^(номер строки). Существует несколько способов это сделать. Проще начать с ряда 0 = 1 и ряда 1 = 1, 2. Продолжайте строить аналоговые треугольники по следующему правилу:

То есть, выбирайте пару чисел по правилам треугольника Паскаля, но удваивайте число слева перед сложением. Это приводит к следующему:

Другой способ построения этого треугольника – начать с треугольника Паскаля и умножить каждый элемент на 2^k, где k – позиция числа в ряду. Например, второе значение в 4-м ряду треугольника Паскаля равно 6 (наклон единиц соответствует нулевому элементу в каждом ряду). Чтобы получить значение, которое находится в соответствующей позиции в аналоговом треугольнике, умножьте 6 на 2^(позиция) = 6 × 2^(2) = 6 × 4 = 24. Теперь, когда аналоговый треугольник построен, количество элементов любой размерности, составляющих куб произвольной размерности (называемый гиперкубом), можно прочитать из таблицы аналогично треугольнику Паскаля. Например, число двухмерных элементов в двухмерном кубе (квадрате) равно 1, число одномерных элементов (сторон или линий) равно 4, а число нульмерных элементов (точек или вершин) равно 4. Это соответствует второму ряду таблицы (1, 4, 4). Куб имеет 1 куб, 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, что соответствует следующей строке аналогового треугольника (1, 6, 12, 8). Эта закономерность продолжается бесконечно. Чтобы понять, почему эта закономерность существует, сначала следует осознать, что построение n-куба из (n-1)-куба осуществляется путем простого дублирования исходной фигуры и смещения ее на некоторое расстояние (для правильного n-куба – на длину ребра) ортогонально пространству исходной фигуры, а затем соединения каждой вершины новой фигуры с соответствующей вершиной исходной. Этот начальный процесс дублирования является причиной того, что для перечисления элементов n-куба необходимо удвоить первое число в паре чисел в ряду этого аналога треугольника Паскаля перед суммированием, чтобы получить число ниже. Таким образом, начальное удвоение дает число "оригинальных" элементов, которые можно найти в следующем n-кубе, и, как и прежде, новые элементы строятся на основе элементов на единицу меньшей размерности (ребра на вершинах, грани на ребрах и т.д.). Снова, последнее число в ряду представляет количество новых вершин, которые необходимо добавить для генерации следующего n-куба. В этом треугольнике сумма элементов m-го ряда равна 3^m. Снова, используя элементы 4-й строки в качестве примера: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, что равно .

The other way of producing this triangle is to start with Pascal's triangle and multiply each entry by 2k, where k is the position in the row of the given number. For example, the 2nd value in row 4 of Pascal's triangle is 6 (the slope of 1s corresponds to the zeroth entry in each row). To get the value that resides in the corresponding position in the analog triangle, multiply 6 by 1=2^(position number) = 6 × 2^(2) = 6 × 4 = 24. Now that the analog triangle has been constructed, the number of elements of any dimension that compose an arbitrarily dimensioned cube (called a hypercube) can be read from the table in a way analogous to Pascal's triangle. For example, the number of 2 dimensional elements in a 2 dimensional cube (a square) is one, the number of 1 dimensional elements (sides, or lines) is 4, and the number of 0 dimensional elements (points, or vertices) is 4. This matches the 2nd row of the table (1, 4, 4). A cube has 1 cube, 6 faces, 12 edges, and 8 vertices, which corresponds to the next line of the analog triangle (1, 6, 12, 8). This pattern continues indefinitely. To understand why this pattern exists, first recognize that the construction of an n cube from an 1=(n − 1) cube is done by simply duplicating the original figure and displacing it some distance (for a regular n cube, the edge length) orthogonal to the space of the original figure, then connecting each vertex of the new figure to its corresponding vertex of the original. This initial duplication process is the reason why, to enumerate the dimensional elements of an n cube, one must double the first of a pair of numbers in a row of this analog of Pascal's triangle before summing to yield the number below. The initial doubling thus yields the number of "original" elements to be found in the next higher n cube and, as before, new elements are built upon those of one fewer dimension (edges upon vertices, faces upon edges, etc.). Again, the last number of a row represents the number of new vertices to be added to generate the next higher n cube. In this triangle, the sum of the elements of row m is equal to 3m. Again, to use the elements of row 4 as an example: 1=1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, which is equal to .

Подсчет вершин в кубе по расстоянию

Каждый ряд треугольника Паскаля дает число вершин на каждом расстоянии от фиксированной вершины в n-мерном кубе. Например, в трех измерениях третий ряд (1 3 3 1) соответствует обычному трехмерному кубу: фиксируя вершину V, есть одна вершина на расстоянии 0 от V (то есть сама V), три вершины на расстоянии 1, три вершины на расстоянии 2 и одна вершина на расстоянии 3 (вершина, противоположная V). Второй ряд соответствует квадрату, а ряды с большими номерами – гиперкубам в каждом измерении.

Трансформация Фурье sin ((x) n+1/x

Как уже было сказано ранее, коэффициенты при (x + 1)ⁿ – это n-я строка треугольника. Теперь коэффициенты при (x − 1)ⁿ такие же, за исключением того, что знак чередуется от +1 до −1 и обратно. После подходящей нормализации та же последовательность чисел возникает в преобразовании Фурье sin(x)ⁿ⁺¹/x. Более точно: если n четное, берется действительная часть преобразования, а если n нечетное – мнимая часть. Тогда результатом является ступенчатая функция, значения которой (после соответствующей нормализации) задаются n-й строкой треугольника с чередующимися знаками. Например, значения ступенчатой функции, полученной из:

составляют 4-ю строку треугольника с чередующимися знаками. Это обобщение следующего базового результата (часто используемого в электротехнике):

является прямоугольной функцией. Соответствующая строка треугольника – это строка 0, которая состоит только из числа 1. Если n сравнимо с 2 или 3 по модулю 4, то знаки начинаются с −1. Фактически, последовательность (нормализованных) первых членов соответствует степеням i, которые циклически располагаются на пересечении осей с единичной окружностью в комплексной плоскости:

Расширения

Треугольник Паскаля можно продолжить вверх, над 1 в вершине, сохраняя свойство суммирования, но существует несколько способов это сделать.

В более высокие измерения

Треугольник Паскаля имеет обобщения на большее число измерений. Трехмерная версия известна как пирамида Паскаля или тетраэдр Паскаля, а общие версии — как симплексы Паскаля.

К комплексным числам

Когда факториальная функция определяется как , треугольник Паскаля можно расширить за пределы целых чисел до , поскольку функция является мероморфной на всей комплексной плоскости.

На произвольных основаниях

Исаак Ньютон однажды заметил, что первые пять строк треугольника Паскаля, рассматриваемые как строки, являются соответствующими степенями одиннадцати. Он утверждал без доказательств, что последующие строки также генерируют степени одиннадцати. В 1964 году доктор Роберт Л. Мортон представил более обобщенный аргумент, что каждую строку можно рассматривать как число в системе счисления с основанием *r*, где *r* – гипотетическая конечная строка или предел треугольника, а строки являются его частными произведениями. Он доказал, что элементы строки *n*, при интерпретации непосредственно как число с позиционным значением, соответствуют биномиальному разложению. С тех пор были разработаны более строгие доказательства. Чтобы лучше понять принцип этой интерпретации, следует вспомнить некоторые вещи о биномах: число в системе счисления с основанием *r* в позиционной нотации (например, ) является одночленным многочленом относительно переменной *x*, где степень переменной *x* в *k*-м члене (начиная с 0) равна *k*. Например, строка соответствует биномиальному разложению. Переменную *x* можно исключить из разложения, установив *x* = 1. Разложение теперь представляет собой расширенную форму числа в системе счисления с основанием *r*, как показано выше. Таким образом, когда элементы строки конкатенируются и считываются в системе счисления с основанием *r*, они образуют числовой эквивалент. Если для *n* > 0, то теорема справедлива для *n* с нечетными значениями, дающими отрицательные произведения строк. Установив основание строки (переменную *x*) равным одному и десяти, строка становится произведением и , соответственно. Для иллюстрации рассмотрим , что дает произведение строки. Числовое представление формируется путем конкатенации элементов строки. Двенадцатая строка обозначает произведение: со составными цифрами (разделенными двоеточием ":") в системе счисления с основанием двенадцать. Цифры от через являются составными, потому что значения этих элементов строки равны или превышают двенадцать. Для нормализации числа просто перенесите префикс первой составной цифры, то есть удалите префикс коэффициента из его самой левой цифры до, но не включая, его самую правую цифру, и используйте арифметику в системе счисления с основанием двенадцать, чтобы сложить удаленный префикс с элементом, находящимся непосредственно слева от него, затем повторите этот процесс, двигаясь влево, пока не будет достигнут самый левый элемент. В этом конкретном примере нормализованная строка заканчивается на для всех. Самая левая цифра для , которая получается путем переноса из элемента. Следовательно, длина нормализованного значения равна длине строки. Целая часть содержит ровно одну цифру, потому что (количество позиций, на которые сдвинута десятичная точка) на единицу меньше длины строки. Ниже приведено нормализованное значение. Составные цифры остаются в значении, потому что они являются остатками от деления на основание *r*, представленными в десятичной системе счисления.

Isaac Newton once observed that the first five rows of Pascal's Triangle, considered as strings, are the corresponding powers of eleven. He claimed
without proof that subsequent rows also generate powers of eleven. In 1964, Dr. Robert L. Morton presented the more generalized argument that each row can be read as a radix numeral, where is the hypothetical terminal row, or limit, of the triangle, and the rows are its partial products. He proved the entries of row , when interpreted directly as a place value numeral, correspond to the binomial expansion of More rigorous proofs have since been developed. To better understand the principle behind this interpretation, here are some things to recall about binomials:
A radix numeral in positional notation (e. g. ) is a univariate polynomial in the variable , where the degree of the variable of the th term (starting with ) is For example, A row corresponds to the binomial expansion of The variable can be eliminated from the expansion by setting The expansion now typifies the expanded form of a radix numeral, as demonstrated above. Thus, when the entries of the row are concatenated and read in radix they form the numerical equivalent of If for , then the theorem holds for with odd values of yielding negative row products. By setting the row's radix (the variable ) equal to one and ten, row becomes the product and , respectively. To illustrate, consider , which yields the row product The numeric representation of is formed by concatenating the entries of row The twelfth row denotes the product:

with compound digits (delimited by ":") in radix twelve. The digits from through are compound because these row entries compute to values greater than or equal to twelve. To normalize the numeral, simply carry the first compound entry's prefix, that is, remove the prefix of the coefficient from its leftmost digit up to, but excluding, its rightmost digit, and use radix twelve arithmetic to sum the removed prefix with the entry on its immediate left, then repeat this process, proceeding leftward, until the leftmost entry is reached. In this particular example, the normalized string ends with for all The leftmost digit is for , which is obtained by carrying the of at entry It follows that the length of the normalized value of is equal to the row length, The integral part of contains exactly one digit because (the number of places to the left the decimal has moved) is one less than the row length. Below is the normalized value of Compound digits remain in the value because they are radix residues represented in radix ten: