Введение
Математическое использование "there exists"
В предикатной логике экзистенциальная квантификация является типом квантора, логической константы, которая интерпретируется как "существует", "есть хотя бы один", или "для некоторого". Обычно она обозначается символом логического оператора ∃, который, используемый вместе с предикатной переменной, называется экзистенциальным квантором ("∃x" или "∃(x)" или "(∃x)"). Экзистенциальная квантификация отличается от универсальной квантификации ("для всех"), которая утверждает, что свойство или отношение верно для всех элементов области определения. Некоторые источники используют термин "экзистенциализация" для обозначения экзистенциальной квантификации. Квантификация в целом рассматривается в статье о квантификации (логика). Экзистенциальный квантор кодируется как ∃ в Unicode и как \exists в LaTeX и связанных редакторах формул.
Обозначение
В символической логике "" (перевернутая буква "E" в шрифте без засечек, Unicode U+2203) используется для обозначения экзистенциальной квантификации. Например, обозначение представляет собой (истинное) утверждение:
There exists some in the set of natural numbers such that
The symbol's first usage is thought to be by Giuseppe Peano in Formulario mathematico (1896). Afterwards, Bertrand Russell popularised its use as the existential quantifier. Through his research in set theory, Peano also introduced the symbols and to each denote the intersection and union of sets.
Существует такое в множестве натуральных чисел, что .
There exists some in the set of natural numbers such that
The symbol's first usage is thought to be by Giuseppe Peano in Formulario mathematico (1896). Afterwards, Bertrand Russell popularised its use as the existential quantifier. Through his research in set theory, Peano also introduced the symbols and to each denote the intersection and union of sets.
Считается, что впервые этот символ использовал Джузеппе Пеано в работе Formulario mathematico (1896). Позднее Бертран Рассел популяризировал его использование в качестве экзистенциального квантора. В своих исследованиях в теории множеств Пеано также ввел символы и для обозначения соответственно пересечения и объединения множеств.
There exists some in the set of natural numbers such that
The symbol's first usage is thought to be by Giuseppe Peano in Formulario mathematico (1896). Afterwards, Bertrand Russell popularised its use as the existential quantifier. Through his research in set theory, Peano also introduced the symbols and to each denote the intersection and union of sets.
Правила вывода
Правило вывода — это правило, обосновывающее логический шаг от гипотезы к заключению. Существует несколько правил вывода, использующих экзистенциальный квантор. Экзистенциальное введение (∃I) утверждает, что если пропозициональная функция известна как истинная для конкретного элемента области рассуждений, то должно быть истинным существование элемента, для которого эта функция истинна. Символически,
Экзистенциальная инстанциация, при выполнении в стиле дедукции Фитча, осуществляется путем входа в новую поддедукцию с заменой экзистенциально квантифицированной переменной на субъект, который не встречается ни в одной активной поддедукции. Если в рамках этой поддедукции можно получить заключение, в котором замененный субъект не появляется, то можно выйти из этой поддедукции с этим заключением. Логическое обоснование экзистенциального устранения (∃E) следующее: если дано, что существует элемент, для которого пропозициональная функция истинна, и если заключение может быть достигнуто, присвоив этому элементу произвольное имя, то это заключение обязательно истинно, пока оно не содержит это имя. Символически, для произвольного c и для пропозиции Q, в которой c не встречается:
должно быть истинным для всех значений c в той же области X; в противном случае логика нарушается: если c не является произвольным, а вместо этого является конкретным элементом области рассуждений, то утверждение P(c) может необоснованно предоставить больше информации об этом объекте.
Пустой набор
Формула всегда ложна, независимо от P(x). Это происходит потому, что обозначает пустое множество, и в пустом множестве не существует ни одного x любого вида – тем более x, удовлетворяющего заданному предикату P(x). Подробнее см. статью "Вакуумная истинность".
В качестве помощника
В теории категорий и теории элементарных топосов экзистенциальный квантор можно понимать как левый сопряженный функтор между булеанами (или множествами степеней), являющийся прообразом функтора, заданного функцией между множествами; аналогично, универсальный квантор является правым сопряженным.