Введение

Числовая модель Солнечной системы – это набор математических уравнений, решение которых позволяет получить приближённые координаты планет как функцию времени. Попытки создания такой модели положили начало более широкой области небесной механики. Результаты моделирования можно сравнивать с прошлыми наблюдениями для проверки точности и использовать для предсказания будущих положений. Таким образом, основное применение модели – подготовка альманахов.

Более старые попытки

Моделирование может быть выполнено в декартовых или сферических координатах. Первые проще, но требуют огромных вычислительных затрат и практически реализуемы только на электронном компьютере. Поэтому в прошлом использовались только вторые. Строго говоря, вычисления во втором случае тоже были весьма трудоемкими, но позволяли начать с простых приближений и затем добавлять возмущения, в объеме, необходимом для достижения требуемой точности. По сути, это математическое моделирование Солнечной системы является разновидностью задачи N тел. Символ N обозначает количество тел, которое может быть весьма велико, если учитывать Солнце, 8 планет, десятки спутников, бесчисленные планетоиды, кометы и так далее. Однако влияние Солнца на любое другое тело настолько значительно, а взаимное влияние всех остальных тел настолько мало, что задачу можно свести к аналитически решаемой задаче двух тел. Результатом для каждой планеты является орбита – простое описание ее положения как функции времени. После решения этой задачи влияние спутников и планет друг на друга добавляется в виде небольших поправок. Эти поправки малы по сравнению с полной планетарной орбитой. Некоторые из них могут достигать нескольких градусов, в то время как измерения могут проводиться с точностью лучше 1". Хотя этот метод больше не используется для численного моделирования, он остается полезным для получения приблизительного эфемерида, поскольку можно взять относительно простое основное решение, добавить несколько наиболее значительных возмущений и без особых усилий получить требуемое положение планеты. Недостатком является то, что теория возмущений – это сложный раздел математики.

Современный метод

Современный метод состоит в численном интегрировании в трехмерном пространстве. Начинают с высокой точности задания положения (x, y, z) и скорости (vx, vy, vz) для каждого из тел, участвующих в расчете. Когда также известна масса каждого тела, ускорение (ax, ay, az) можно вычислить, используя закон всемирного тяготения Ньютона. Каждое тело притягивает все остальные тела, а результирующее ускорение является суммой всех этих притяжений. Затем выбирают небольшой временной шаг Δt и применяют второй закон Ньютона. Ускорение, умноженное на Δt, дает поправку к скорости. Скорость, умноженная на Δt, дает поправку к положению. Эта процедура повторяется для всех остальных тел. В результате получается новое значение положения и скорости для каждого тела. Затем, используя эти новые значения, повторяют весь расчет для следующего временного шага Δt. Достаточно часто повторяя эту процедуру, получают описание положений всех тел во времени. Преимущество этого метода заключается в том, что для компьютера это относительно простая задача, и он позволяет получать высокоточные результаты для всех тел одновременно, избавляя от сложных и трудоемких процедур определения возмущений. Недостатком является то, что необходимо начинать с очень точных исходных данных, иначе результаты со временем будут отклоняться от реальности; что координаты x, y, z часто сначала необходимо преобразовать в более удобные эклиптические или экваториальные координаты, прежде чем их можно будет использовать; и что это подход "все или ничего". Если требуется узнать положение одной планеты в определенный момент времени, то необходимо рассчитать положения всех остальных планет и все промежуточные временные шаги.

Осложнения

Если требуется максимально возможная точность, вычисления становятся значительно сложнее. В случае с кометами необходимо учитывать негравитационные силы, такие как давление излучения и сопротивление газов. Для Меркурия и других планет при долгосрочных расчетах нельзя игнорировать релятивистские эффекты. В этом случае полная энергия перестает быть постоянной величиной (поскольку постоянным остается четырехвектор энергии и импульса). Конечная скорость света также требует учета эффектов запаздывания света, как классических, так и релятивистских. Планеты нельзя рассматривать как точечные частицы, необходимо учитывать их форму и плотность. Например, сплюснутость Земли вызывает прецессию, которая, в свою очередь, изменяет наклон оси вращения и влияет на долгосрочное движение всех планет. Создание долгосрочных моделей, охватывающих период более нескольких десятков миллионов лет, невозможно из-за нестабильности Солнечной системы.