Скорость убегания в небесной механике

Введение

Концепция в небесной механике

В небесной механике скорость убегания — это минимальная скорость, необходимая для того, чтобы объект покинул окрестности первичного тела, преодолев его гравитационное притяжение, при условии, что:
Баллистическая траектория на объект не действуют никакие другие силы, включая тягу и трение.
Не существует других тел, создающих гравитацию.

Хотя термин «скорость убегания» распространен, точнее описывать его как скорость, а не как величину скорости, поскольку она не зависит от направления. Поскольку гравитационная сила между двумя объектами зависит от их суммарной массы, скорость убегания также зависит от массы. Для искусственных спутников и небольших природных объектов масса объекта вносит пренебрежимо малый вклад в суммарную массу, поэтому её часто игнорируют. Скорость убегания изменяется с расстоянием до центра первичного тела, как и скорость объекта, движущегося под гравитационным влиянием этого тела. Если объект находится на круговой или эллиптической орбите, его скорость всегда меньше скорости убегания на текущем расстоянии. Напротив, если он движется по гиперболической траектории, его скорость всегда будет выше скорости убегания на текущем расстоянии. (Он будет замедляться по мере удаления, но делать это асимптотически, приближаясь к положительной скорости.) Объект, движущийся по параболической траектории, всегда будет двигаться со скоростью, равной скорости убегания на текущем расстоянии. Он точно уравновешивает положительную кинетическую энергию и отрицательную гравитационную потенциальную энергию; он всегда будет замедляться, асимптотически приближаясь к нулевой скорости, но никогда полностью не остановится. Расчеты скорости убегания обычно используются для определения того, останется ли объект в гравитационной сфере влияния данного тела. Например, при исследовании Солнечной системы полезно знать, продолжит ли зонд вращаться вокруг Земли или перейдет на гелиоцентрическую орбиту. Также полезно знать, насколько необходимо замедлить зонд, чтобы он был захвачен гравитацией тела назначения. Ракетам не обязательно достигать скорости убегания за один маневр, и объекты также могут использовать гравитационный маневр для перераспределения кинетической энергии от массивных тел. Точные расчеты траектории требуют учета небольших сил, таких как атмосферное сопротивление, давление излучения и солнечный ветер. Ракета, работающая непрерывной или импульсной тягой (или объект, поднимающийся по космическому лифту), может достичь скорости убегания с любой ненулевой скоростью, но минимальное количество энергии, необходимое для этого, всегда остается одинаковым.

Although the term escape velocity is common, it is more accurately described as a speed than a velocity because it is independent of direction. Because gravitational force between two objects depends on their combined mass, the escape speed also depends on mass. For artificial satellites and small natural objects the mass of the object makes a negligible contribution to the combined mass, and so is often ignored. Escape speed varies with distance from the center of the primary body, as does the velocity of an object traveling under the gravitational influence of the primary. If an object is in a circular or elliptical orbit, its speed is always less than the escape speed at its current distance. In contrast if it is on a hyperbolic trajectory its speed will always be higher than the escape speed at its current distance. (It will slow down as it gets to greater distance, but do so asymptotically approaching a positive speed.) An object on a parabolic trajectory will always be traveling exactly the escape speed at its current distance. It has precisely balanced positive kinetic energy and negative gravitational potential energy; it will always be slowing down, asymptotically approaching zero speed, but never quite stop. Escape velocity calculations are typically used to determine whether an object will remain in the gravitational sphere of influence of a given body. For example, in solar system exploration it is useful to know whether a probe will continue to orbit the Earth or escape to a heliocentric orbit. It is also useful to know how much a probe will need to slow down in order to be gravitationally captured by its destination body. Rockets do not have to reach escape velocity in a single maneuver, and objects can also use a gravity assist to siphon kinetic energy away from large bodies. Precise trajectory calculations require taking into account small forces like atmospheric drag, radiation pressure, and solar wind. A rocket under continuous or intermittent thrust (or an object climbing a space elevator) can attain escape at any non zero speed, but the minimum amount of energy required to do so is always the same.

Потребность в энергии

Для объекта массы *m* энергия, необходимая для преодоления гравитационного поля Земли, равна GMm / r, что является функцией массы объекта (где r – радиус Земли, номинально 6371 километр, G – гравитационная постоянная, а M – масса Земли). Связанным понятием является удельная орбитальная энергия, которая по сути представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии, делённую на массу. Объект достигает первой космической скорости, когда удельная орбитальная энергия больше или равна нулю.

Релятивистский

Тот же результат достигается релятивистским расчетом, где переменная r представляет собой радиальную координату или редуцированную окружность метрики Шварцшильда.

Из вращающегося тела

Скорость убегания относительно поверхности вращающегося тела зависит от направления движения покидающего его объекта. Например, поскольку скорость вращения Земли составляет 465 м/с на экваторе, ракете, запущенной тангенциально с экватора Земли на восток, требуется начальная скорость около 10,735 км/с относительно движущейся поверхности в точке запуска для преодоления гравитации, в то время как ракете, запущенной тангенциально с экватора Земли на запад, требуется начальная скорость около 11,665 км/с относительно этой движущейся поверхности. Скорость поверхности уменьшается с косинусом географической широты, поэтому космодромы часто располагают как можно ближе к экватору, например, американский мыс Канаверал (широта 28°28′ с. ш.) и Космический центр Французской Гвианы (широта 5°14′ с. ш.).

Практические соображения

В большинстве случаев достичь первой космической скорости практически мгновенно нереально из-за необходимого ускорения, а также потому, что при наличии атмосферы гиперзвуковые скорости (на Земле – 11,2 км/с, или 40 320 км/ч) приведут к сгоранию большинства объектов из-за аэродинамического нагрева или их разрушению под воздействием атмосферного сопротивления. Для выхода на траекторию покидания Земли космический аппарат будет постепенно ускоряться по мере выхода из атмосферы, пока не достигнет первой космической скорости, соответствующей его высоте (которая будет меньше, чем на поверхности). Зачастую космический аппарат сначала выводят на опорную орбиту (например, низкую околоземную орбиту на высоте 160–2000 км), а затем ускоряют до первой космической скорости на этой высоте, которая будет немного ниже (около 11,0 км/с на низкой околоземной орбите высотой 200 км). Однако требуемое дополнительное изменение скорости значительно меньше, поскольку космический аппарат уже обладает существенной орбитальной скоростью (на низкой околоземной орбите она составляет примерно 7,8 км/с, или 28 080 км/ч).

Из орбитального тела

Скорость убегания на заданной высоте в √2 раза больше скорости на круговой орбите на той же высоте (сравните это с уравнением скорости на круговой орбите). Это связано с тем, что потенциальная энергия объекта на такой орбите относительно бесконечности равна минус удвоенной его кинетической энергии, а для преодоления гравитационного притяжения сумма потенциальной и кинетической энергии должна быть как минимум равна нулю. Скорость, соответствующая круговой орбите, иногда называют первой космической скоростью, а в данном контексте скорость убегания – второй космической скоростью. Для тела на эллиптической орбите, стремящегося разогнаться до скорости убегания, необходимая скорость будет меняться и достигать максимума в перицентре, когда тело находится ближе всего к центральному телу. Однако орбитальная скорость тела также будет максимальной в этой точке, а требуемое изменение скорости – минимальным, что объясняется эффектом Оберта.

Барицентрическая скорость выхода

Скорость убегания может измеряться относительно другого, центрального тела или относительно центра масс, либо барицентра системы тел. Таким образом, для систем из двух тел термин "скорость убегания" может быть неоднозначным, но обычно под ним подразумевают барицентрическую скорость убегания менее массивного тела. Скорость убегания обычно относится к скорости убегания пробных частиц с нулевой массой. Для пробных частиц с нулевой массой "относительная к другому" и "барицентрическая" скорости убегания совпадают, а именно. Но когда мы не можем пренебречь меньшей массой (скажем, *m*), мы получаем несколько иные формулы. Поскольку система должна подчиняться закону сохранения импульса, мы видим, что как большая, так и меньшая масса должны ускоряться в гравитационном поле. Относительно центра масс скорость большей массы (*M*, например, для планеты) может быть выражена через скорость меньшей массы (*m*, например, для ракеты). В результате барицентрическая скорость убегания становится: , а скорость убегания, измеренная относительно другого тела, становится: .

Список скоростей выхода

В этой таблице левая половина показывает скорость убегания с видимой поверхности (которая может быть газообразной, как, например, у Юпитера), относительно центра планеты или спутника (то есть не относительно её движущейся поверхности). В правой половине Ve обозначает скорость относительно центрального тела (например, Солнца), а Vte – скорость (на видимой поверхности меньшего тела) относительно самого этого тела (планеты или спутника). Расположение относительно Ve (км/с) Расположение относительно Ve (км/с) 1774 а. е. от Солнца Гравитация Солнца 1 На горизонте событий Гравитация чёрной дыры 299 792,458 (скорость света)
Значения в последних двух столбцах будут зависеть от конкретной точки орбиты, в которой достигается скорость убегания, поскольку орбиты не являются идеально круговыми (особенно у Меркурия и Плутона).