Введение
Математические ряды
Многополярное разложение — это математический ряд, представляющий функцию, зависящую от углов, обычно двух углов, используемых в сферической системе координат (полярного и азимутального углов) для трехмерного евклидова пространства. Подобно ряду Тейлора, многополярные разложения полезны, поскольку часто для получения хорошего приближения исходной функции требуются лишь первые несколько членов. Расширяемая функция может быть вещественной или комплексной и определена либо на , либо реже на для некоторых других значений.
A multipole expansion is a mathematical series representing a function that depends on angles—usually the two angles used in the spherical coordinate system (the polar and azimuthal angles) for three dimensional Euclidean space, Similarly to Taylor series, multipole expansions are useful because oftentimes only the first few terms are needed to provide a good approximation of the original function. The function being expanded may be real or complex valued and is defined either on , or less often on for some other
Multipole expansions are used frequently in the study of electromagnetic and gravitational fields, where the fields at distant points are given in terms of sources in a small region. The multipole expansion with angles is often combined with an expansion in radius. Such a combination gives an expansion describing a function throughout three dimensional space. The multipole expansion is expressed as a sum of terms with progressively finer angular features (moments). The first (the zeroth order) term is called the monopole moment, the second (the first order) term is called the dipole moment, the third (the second order) the quadrupole moment, the fourth (third order) term is called the octupole moment, and so on. Given the limitation of Greek numeral prefixes, terms of higher order are conventionally named by adding " pole" to the number of poles—e. g., 32 pole (rarely dotriacontapole or triacontadipole) and 64 pole (rarely tetrahexacontapole or hexacontatetrapole). A multipole moment usually involves powers (or inverse powers) of the distance to the origin, as well as some angular dependence. In principle, a multipole expansion provides an exact description of the potential, and generally converges under two conditions: (1) if the sources (e. g. charges) are localized close to the origin and the point at which the potential is observed is far from the origin; or (2) the reverse, i. e., if the sources are located far from the origin and the potential is observed close to the origin. In the first (more common) case, the coefficients of the series expansion are called exterior multipole moments or simply multipole moments whereas, in the second case, they are called interior multipole moments.
Многополярные разложения часто используются при изучении электромагнитных и гравитационных полей, где поля в удаленных точках задаются через источники в небольшой области. Многополярное разложение с углами часто комбинируется с разложением по радиусу. Такое сочетание дает разложение, описывающее функцию во всем трехмерном пространстве. Многополярное разложение выражается в виде суммы членов с последовательно более детальными угловыми характеристиками (моментами). Первый (нулевого порядка) член называется монопольным моментом, второй (первого порядка) — дипольным моментом, третий (второго порядка) — квадрупольным моментом, четвертый (третьего порядка) — октупольным моментом и так далее. Учитывая ограниченность греческих числительных префиксов, члены более высокого порядка обычно называют, добавляя слово «полюс» к числу полюсов, например, 32-полюсный (редко дотриаконтапольный или триаконтадипольный) и 64-полюсный (редко тетрагексаконтапольный или гексаконтатетрапольный). Многополюсный момент обычно включает в себя степени (или обратные степени) расстояния до начала координат, а также некоторую угловую зависимость. В принципе, многополярное разложение обеспечивает точное описание потенциала и, как правило, сходится при двух условиях: (1) если источники (например, заряды) локализованы вблизи начала координат, а точка, в которой наблюдается потенциал, находится далеко от начала координат; или (2) наоборот, то есть, если источники расположены далеко от начала координат, а потенциал наблюдается вблизи начала координат. В первом (более распространенном) случае коэффициенты разложения в ряд называются внешними многопольными моментами или просто многопольными моментами, а во втором случае — внутренними многопольными моментами.
A multipole expansion is a mathematical series representing a function that depends on angles—usually the two angles used in the spherical coordinate system (the polar and azimuthal angles) for three dimensional Euclidean space, Similarly to Taylor series, multipole expansions are useful because oftentimes only the first few terms are needed to provide a good approximation of the original function. The function being expanded may be real or complex valued and is defined either on , or less often on for some other
Multipole expansions are used frequently in the study of electromagnetic and gravitational fields, where the fields at distant points are given in terms of sources in a small region. The multipole expansion with angles is often combined with an expansion in radius. Such a combination gives an expansion describing a function throughout three dimensional space. The multipole expansion is expressed as a sum of terms with progressively finer angular features (moments). The first (the zeroth order) term is called the monopole moment, the second (the first order) term is called the dipole moment, the third (the second order) the quadrupole moment, the fourth (third order) term is called the octupole moment, and so on. Given the limitation of Greek numeral prefixes, terms of higher order are conventionally named by adding " pole" to the number of poles—e. g., 32 pole (rarely dotriacontapole or triacontadipole) and 64 pole (rarely tetrahexacontapole or hexacontatetrapole). A multipole moment usually involves powers (or inverse powers) of the distance to the origin, as well as some angular dependence. In principle, a multipole expansion provides an exact description of the potential, and generally converges under two conditions: (1) if the sources (e. g. charges) are localized close to the origin and the point at which the potential is observed is far from the origin; or (2) the reverse, i. e., if the sources are located far from the origin and the potential is observed close to the origin. In the first (more common) case, the coefficients of the series expansion are called exterior multipole moments or simply multipole moments whereas, in the second case, they are called interior multipole moments.
Приложения
Многопольные разложения широко используются в задачах, связанных с гравитационными полями систем масс, электрическими и магнитными полями распределения зарядов и токов, а также распространением электромагнитных волн. Классическим примером является вычисление внешних многопольных моментов атомных ядер на основе их энергий взаимодействия с внутренними многопольными моментами электронных орбиталей. Многопольные моменты ядер характеризуют распределение зарядов внутри ядра и, следовательно, форму ядра. Усечение многопольного разложения до первого ненулевого члена часто полезно для теоретических расчетов. Многопольные разложения также применяются в численных симуляциях и лежат в основе быстрого многопольного метода Грингарда и Рокхлина – общего метода эффективного вычисления энергий и сил в системах взаимодействующих частиц. Основная идея заключается в разделении частиц на группы: частицы внутри группы взаимодействуют обычным образом (то есть посредством полного потенциала), в то время как энергии и силы между группами частиц вычисляются на основе их многопольных моментов. Эффективность быстрого многопольного метода обычно сопоставима с эффективностью суммирования Эвальда, но превосходит её, если частицы образуют скопления, то есть система характеризуется значительными флуктуациями плотности.
Многопольное расширение потенциала за пределами распределения электростатического заряда
Рассмотрим дискретное распределение заряда, состоящее из N точечных зарядов qi с векторами положения ri. Предполагаем, что заряды сгруппированы вокруг начала координат, так что для всех i: ri < rmax, где rmax – некоторое конечное значение. Потенциал V(R), обусловленный распределением заряда, в точке R вне распределения заряда, т.е. R > rmax, может быть разложен в ряд по степеням 1/R. В литературе можно найти два способа выполнить это разложение: первый – ряд Тейлора в декартовых координатах x, y и z, а второй – в терминах сферических гармоник, зависящих от сферических полярных координат. Картезианский подход имеет преимущество в том, что не требует предварительного знания функций Лежандра, сферических гармоник и т.п. Его недостаток заключается в том, что выводы достаточно громоздки (фактически, значительная часть работы представляет собой неявное повторное выведение разложения Лежандра 1/|r-R|, которое было выполнено однажды и навсегда Лежандром в 1780-х годах). Кроме того, сложно получить замкнутое выражение для общего члена многополюсного разложения – обычно приводятся только первые несколько членов, за которыми следует многоточие.
Примечание о конвенциях
Определение комплексного молекулярного мультипольного момента, данное выше, является комплексно сопряжённым к определению, представленному в этой статье, которое соответствует определению, используемому в стандартном учебнике по классической электродинамике Джексона, Бринка и Сатчлера.
Общие математические свойства
Многопольные моменты в математике и математической физике образуют ортогональный базис для разложения функции, основанный на реакции поля на точечные источники, бесконечно сближающиеся друг с другом. Их можно представить как расположенными в различных геометрических конфигурациях или, в рамках теории распределений, как направленные производные. Многополюсные разложения связаны с фундаментальной вращательной симметрией физических законов и соответствующих им дифференциальных уравнений. Даже если источники (такие как массы, заряды или токи) не обладают симметрией, их можно разложить по неприводимым представлениям группы вращательной симметрии, что приводит к сферическим гармоникам и связанным с ними наборам ортогональных функций. Для выделения соответствующих решений для радиальных зависимостей используется метод разделения переменных. На практике многие поля можно достаточно точно аппроксимировать конечным числом многопольных моментов (хотя для точного восстановления поля может потребоваться бесконечное число). Типичным применением является приближение поля локализованного распределения заряда его монопольным и дипольным членами. Решения, полученные для определенного порядка многопольного момента, можно линейно комбинировать для построения окончательного приближенного решения для заданного источника.