Введение

В математике и прикладной математике теория возмущений представляет собой набор методов для нахождения приближенного решения задачи, исходя из точного решения связанной, более простой задачи. Ключевой особенностью этого подхода является промежуточный этап, на котором задача разделяется на "решаемую" и "возмущающую" части. В теории возмущений решение выражается в виде степенного ряда относительно малого параметра. Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которую можно решить точно. В небесной механике это обычно кеплеровская эллиптическая орбита. При ньютоновской теории гравитации эллипс является точным решением, когда рассматриваются только два гравитирующих тела (например, Земля и Луна), но становится неточным при наличии трех и более объектов (например, Земли, Луны, Солнца и остальных планет Солнечной системы), а также когда гравитационное взаимодействие описывается с использованием общей теории относительности.

Расширение нарушения

Учитывая вышеуказанный пример, можно следовать общему алгоритму для получения ряда возмущений. Пертурбационное разложение строится путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Эти поправки получаются путем обеспечения согласованности между решением невозмущенной задачи и уравнениями, описывающими систему в полном объеме. Обозначим эту совокупность уравнений как ; то есть, пусть символ обозначает задачу, которую необходимо решить. Зачастую это дифференциальные уравнения, следовательно, буква "D". Процесс, как правило, механический, хотя и трудоемкий. Начинают с записи уравнений таким образом, чтобы они разделялись на две части: некоторое множество уравнений, которые можно решить точно, и некоторая дополнительная оставшаяся часть для некоторого малого . Решение (для ) известно, и ищут общее решение для .

Затем приближение подставляется в . Это приводит к уравнению для , которое в общем случае может быть записано в замкнутой форме как сумма интегралов по . Таким образом, получена поправка первого порядка , и, следовательно, является хорошим приближением к . Это хорошее приближение именно потому, что проигнорированные части были порядка . Процесс затем можно повторить для получения поправок и так далее. На практике этот процесс быстро приводит к обилию слагаемых, которыми крайне сложно управлять вручную. Исаак Ньютон, как сообщается, говорил о проблеме орбиты Луны: "Она вызывает у меня головную боль". Эта неуправляемость заставила теорию возмущений развиться в искусство управления и записи этих членов высшего порядка. Одним из фундаментальных прорывов в квантовой механике, позволяющих контролировать разложение, являются диаграммы Фейнмана, которые позволяют представить квантово-механические ряды возмущений в виде схемы.

История

Теория возмущений была впервые разработана для решения задач, которые иначе не поддавались решению, при расчете движений планет в Солнечной системе. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объяснял гравитацию между двумя астрономическими телами, но при добавлении третьего тела возникал вопрос: "Как каждое тело притягивает остальные?". Уравнения Кеплера для орбит решают уравнения гравитации Ньютона только в случае, когда они ограничены взаимодействием двух тел. Постепенное повышение точности астрономических наблюдений приводило к возрастающим требованиям к точности решений уравнений гравитации Ньютона, что побудило многих выдающихся математиков XVIII и XIX веков, в частности Лагранжа и Лапласа, к расширению и обобщению методов теории возмущений. Эти хорошо разработанные методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых задач, возникавших в процессе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике XX века. Пол Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году для оценки вероятности испускания частицы в радиоактивных элементах. Позднее это правило было названо золотым правилом Ферми. Квантовая теория возмущений относительно доступна, главным образом потому, что квантовая механика ограничена линейными волновыми уравнениями, а также благодаря тому, что квантово-механическая нотация позволяет записывать выражения в достаточно компактной форме, что облегчает их понимание. Это привело к взрывному росту приложений, от эффекта Зеемана до сверхтонкого расщепления в атоме водорода. Несмотря на более простую нотацию, применение теории возмущений к квантовой теории поля все еще легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитые диаграммы Фейнмана, заметив, что многие члены регулярно повторяются. Эти члены можно заменить точками, линиями, зигзагами и подобными символами, каждый из которых представляет член, знаменатель, интеграл и так далее; таким образом, сложные интегралы можно записать в виде простых диаграмм, без какой-либо двусмысленности в их значении. Взаимно однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами и определяет их силу. Хотя изначально разработанная для квантовой теории поля, диаграмматическая техника оказалась широко применимой ко многим другим возмущающим рядам (хотя и не всегда целесообразно). Во второй половине XX века, с развитием теории хаоса, стало ясно, что невозмущенные системы, как правило, являются полностью интегрируемыми, в то время как возмущенные системы – нет. Это быстро привело к изучению "почти интегрируемых систем", каноническим примером которых является тор KAM. Одновременно было обнаружено, что многие (скорее, специальные) нелинейные системы, которые ранее можно было исследовать только с помощью теории возмущений, на самом деле полностью интегрируемы. Это открытие было весьма значительным, поскольку позволило получить точные решения. В свою очередь, это помогло прояснить смысл возмущающего ряда, поскольку теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями. Улучшенное понимание динамических систем, полученное из теории хаоса, помогло пролить свет на так называемую проблему малого знаменателя или проблему малого делителя. В XIX веке Пуанкаре заметил (как, возможно, и более ранние математики), что иногда члены второго и более высоких порядков в возмущающем ряду имеют "малые знаменатели": то есть, они имеют общую форму, где и – некоторые сложные выражения, относящиеся к решаемой задаче, а и – действительные числа; часто они представляют собой энергию нормальных мод. Проблема малого делителя возникает, когда разность мала, что приводит к "взрыву" возмущающей поправки, которая становится такой же большой или даже больше, чем член нулевого порядка. Эта ситуация сигнализирует о нарушении теории возмущений: она перестает работать в этой точке и не может быть расширена или суммирована дальше. Формально возмущающий ряд является асимптотическим рядом: полезное приближение для нескольких членов, но в какой-то момент становится менее точным при добавлении новых членов. Прорыв в теории хаоса заключался в объяснении того, почему это происходит: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Один сигнализирует о присутствии другого.

Начало изучения движения планет

Поскольку планеты очень удалены друг от друга, и поскольку их масса мала по сравнению с массой Солнца, гравитационными силами между планетами можно пренебречь, и планетарное движение рассматривается, в первом приближении, как происходящее по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел, где двумя телами являются планета и Солнце. С тех пор как астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость учитывать, как движение планеты вокруг Солнца подвержено влиянию других планет. Так возникла задача трёх тел; при изучении системы Луна-Земля-Солнце отношение массы Луны к массе Земли было выбрано в качестве "малого параметра". Лагранж и Лаплас первыми высказали предположение, что так называемые "постоянные", описывающие движение планеты вокруг Солнца, постепенно изменяются: они, как бы, "возмущаются" движением других планет и меняются со временем; отсюда и название "теория возмущений". Этот подход работает с полным гамильтонианом с самого начала и не определяет оператор возмущения как таковой. Теория возмущений Мёллера — Плессета использует разность между гамильтонианом Хартри — Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом в качестве возмущения. Энергия нулевого порядка — это сумма орбитальных энергий. Энергия первого порядка — энергия Хартри — Фока, а электронная корреляция включается во втором и более высоких порядках. Расчёты второго, третьего или четвёртого порядка очень распространены, и соответствующий код включён в большинство программ квантовой химии ab initio. Близким, но более точным методом является метод связанных кластеров.

Скрещивание раковин

Пересечение оболочки (sc) возникает в теории возмущений, когда траектории частиц пересекаются, образуя сингулярность. Это ограничивает прогностическую силу физических симуляций на малых масштабах.